新潟大学 2024年数学第3問解答・解説

図形と方程式ベクトル

このページには広告が含まれます。

1問題

新潟大学2024年度第3問

座標空間において、3点A(1,0,0)、B(0,-1,0)、C(0,0,-2)の定める平面をαとし、方程式x²+y²+z²+2x−10y+4z+21=0が表す球面をSとする。次の問いに答えよ。

(1) 球面Sの中心Pの座標とSの半径を求めよ。

(2) 実数s,tに対して、点DをベクトルAD=sベクトルAB+tベクトルACを満たすようにとる。このとき、Dの座標をs,tを用いて表せ。

(3) 点Qが平面α上を動き、点Rが球面S上を動くとき、QとRの距離の最小値を求めよ。また、そのときのQとRの座標をそれぞれ求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) P=(−1,5,−2), r=3. (2) D=(1−s−t,−s,−2t). (3) minimum distance 1 at Q=(5/3,7/3,−10/3), R=(1,3,−3).$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $(x+1)^2+(y-5)^2+(z+2)^2=9$ より、中心は $(-1,5,-2)$ 、半径は3である。(2) $D=(1-s-t,-s,-2t)$ である。(3) 平面の方程式は $\alpha:2x-2y-z-2=0$ であり、法線ベクトルは $\boldsymbol n=(2,-2,-1)$ 。中心から平面に下ろした垂線の足は $\displaystyle Q=(\frac53,\frac73,-\frac{10}3)$ で、中心と平面の距離は $4$ である。 $R=(1,3,-3)$ とすると $QR=1$ となり、三角不等式によってこれが最小値であることを示せる。

この問題で使う考え方

平方完成
法線ベクトル
垂足
三角不等式

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。