4新潟大学 2024年 数学 第4問解答・解説

条件付き解答。 以下の計算は「各球の行先を、他の球と独立に、$k$ 箱から等確率で選ぶ」というモデルを補った場合のものである。

原文は各球がどの箱に入る確率も等しいと述べるが、球どうしの独立性は明示していない。例えば箱番号 $U$ を一様に1個だけ選び、すべての球を箱 $U$ に入れても、各球の行先は一様となる。このモデルでは(1)は $4/5$、(3)はすべての $n\ge1$ で $p_n=0$、(4)は任意の $r>0$ で0に収束する。したがって周辺の一様性だけでは下記の答えは一意に定まらない。

以下では補った条件により、各ボールの行き先は独立に $k$ 通りから等確率で選ばれるので、全結果数は $k^n$ である。

・ 箱1に入らない確率は、各ボールについて $4/5$ である。したがって $$\displaystyle \Pr(a_1=0)=\left(\frac45\right)^4=\frac{256}{625}.$$

・ $E_i=\{a_i=0\}$ とおくと、求める事象は $E_1\text{ または }E_2$ である。各箱を避ける確率と両方を避ける確率から $$\displaystyle \Pr(E_1)=\Pr(E_2)=\left(\frac{k-1}{k}\right)^n,\qquad \Pr(E_1\text{ と }E_2\text{ がともに起こる事象})=\left(\frac{k-2}{k}\right)^n.$$ よって確率の加法法則より $$\displaystyle \Pr(a_1a_2=0)=\Pr(E_1\text{ または }E_2)=\frac{2(k-1)^n-(k-2)^n}{k^n}.$$ ここで $n\geq1$ なので、$k=2$ のときも $(k-2)^n=0$ である。

・ $A_i=\{a_i=0\}$ とする。指定した $j$ 個の箱が空となる割当ては $(4-j)^n$ 通りだから、包除して全箱に少なくとも1個入る割当て数は $$\displaystyle 4^n-\binom41 3^n+\binom42 2^n-\binom43 1^n+\binom44 0^n =4^n-4\cdot3^n+6\cdot2^n-4.$$ 空箱がちょうど $m$ 個ある配置は、差し引きの式に $\displaystyle 1-\binom m1+\binom m2-\cdots+(-1)^m\binom mm=(1-1)^m=0$ 回分残り、空箱のない配置だけが1回分残る。これが上の数え方の根拠である。$n\ge1$ より $0^n=0$。全割当て数は $4^n$ なので $$\displaystyle p_n=\frac{4^n-4\cdot3^n+6\cdot2^n-4}{4^n} =1-4\left(\frac34\right)^n+6\left(\frac12\right)^n-4\left(\frac14\right)^n.$$

・ 上式から $$\displaystyle p_{n+1}-p_n=\left(\frac34\right)^n-3\left(\frac12\right)^n+3\left(\frac14\right)^n,$$ したがって $$\displaystyle r^n(p_{n+1}-p_n)=\left(\frac{3r}{4}\right)^n-3\left(\frac r2\right)^n+3\left(\frac r4\right)^n.$$ $0<r<4/3$ なら3つの等比数列はいずれも $0$ に収束する。$r=4/3$ のときは右辺が $$\displaystyle 1-3\left(\frac23\right)^n+3\left(\frac13\right)^n\longrightarrow1$$ となる。一方、$r>4/3$ とし $q=3r/4>1$ とおくと、右辺は $$\displaystyle q^n\left\{1-3\left(\frac23\right)^n+3\left(\frac13\right)^n\right\}\longrightarrow+\infty.$$ よって収束する $r$ の範囲は $$\displaystyle 0<r\leq\frac43.$$