3高知大学 2016年 数学 第3問解答・解説

箱の中のカードは $1,2,3,4,5$ の5枚で,このうち奇数は $1,3,5$ の3枚,偶数は $2,4$ の2枚である。1回の試行では戻してから引くので,各回の結果は独立であり,毎回 $$\displaystyle P(\text{奇数が出る})=\frac{3}{5},\qquad P(\text{偶数が出る})=\frac{2}{5}$$ が成り立つ。

(1) $T_{n+1}=T_n+A_{n+1}$ であるから,$T_{n+1}$ が奇数になるのは次の2つの排反な場合に限る。

・ $T_n$ が奇数で,$A_{n+1}$ が偶数のとき(確率 $\displaystyle p_n\cdot\dfrac{2}{5}$)

・ $T_n$ が偶数で,$A_{n+1}$ が奇数のとき(確率 $\displaystyle (1-p_n)\cdot\dfrac{3}{5}$)

したがって $$\displaystyle p_{n+1}=\frac{2}{5}p_n+\frac{3}{5}(1-p_n)=\frac{3-p_n}{5}.$$

(2) (1)の漸化式 $$\displaystyle p_{n+1}=-\frac{1}{5}p_n+\frac{3}{5}$$ の不動点 $\alpha$ は $\displaystyle \alpha=-\dfrac{1}{5}\alpha+\dfrac{3}{5}$ より $\displaystyle \alpha=\dfrac{1}{2}$。両辺から $\displaystyle \alpha=\dfrac12$ を引くと $$\displaystyle p_{n+1}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{5}\left(p_n-\frac{1}{2}\right)$$ となるから,数列 $\displaystyle \left\{p_n-\dfrac12\right\}$ は公比 $\displaystyle -\dfrac15$ の等比数列である。初項は $n=1$ のとき $T_1=A_1$ なので $$\displaystyle p_1=P(A_1\text{が奇数})=\frac{3}{5},\qquad p_1-\frac12=\frac{1}{10}$$ より $$\displaystyle p_n-\frac12=\frac{1}{10}\left(-\frac15\right)^{n-1}.$$ よって $$\displaystyle p_n=\frac12+\frac{1}{10}\left(-\frac15\right)^{n-1}=\frac12+\frac{(-1)^{n-1}}{2\cdot5^{n}}.$$ (検算: $n=1$ で $\displaystyle \frac12+\frac{1}{10}=\frac35$ と一致。$n=2$ で $\displaystyle \frac12-\frac{1}{50}=\frac{12}{25}$ となり,(1)の漸化式に $\displaystyle p_1=\frac35$ を代入した $\displaystyle \frac{3-3/5}{5}=\frac{12}{25}$ と一致する。)

(3) $\displaystyle \left|-\dfrac15\right|<1$ であるから $n\to\infty$ のとき $\displaystyle \left(-\dfrac15\right)^{n-1}\to0$。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}p_n=\frac12.$$

1回で奇数カードを引く確率と偶数カードを引く確率から、合計の偶奇で場合分けして漸化式を作る。初項を定めて一般項と極限を求める。