神戸大学 2013年数学第5問解答・解説

1問題

神戸大学2013年度第5問

動点 $P$ が，図のような正方形 $ABCD$ の頂点 $A$ から出発し，さいころをふるごとに，次の規則により正方形のある頂点から他の頂点に移動する。　出た目の数が2以下なら辺 $AB$ と平行な方向に移動する。　出た目の数が3以上なら辺 $AD$ と平行な方向に移動する。　 $n$ を自然数とするとき，さいころを $2n$ 回ふった後に動点 $P$ が $A$ にいる確率を $a_{n}$ ， $C$ にいる確率を $c_{n}$ とする。次の問いに答えよ。（配点30点）

正方形ABCDの4頂点に黒い点があり、左下にA、右下にB、右上にC、左上にDが記されている。4辺は実線で描かれている。

(1) $a_{1}$ を求めよ。

(2) さいころを $2n$ 回ふった後，動点 $P$ は $A$ または $C$ にいることを証明せよ。

(3) $a_{n},c_{n}$ を $n$ を用いてそれぞれ表せ。

(4) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_{n},\quad \lim\limits _{n\to\infty}c_{n}$ をそれぞれ求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle a_1=\frac59$ 。 (2) $2n$ 回後は $A$ または $C$ 。 (3) $\displaystyle a_n=\frac{1+9^{-n}}2,\quad c_n=\frac{1-9^{-n}}2$ 。 (4) 両極限は $\displaystyle \frac12$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

ABに平行な移動を $H$ 、 $AD$ に平行な移動を $V$ とします。さいころの各回は独立で、 $P(H)=2/6=1/3$ 、 $P(V)=4/6=2/3$ です。

(1)

2回で $A$ に戻るには、同じ方向を2回選ぶ必要があります。経路 $HH$ または $VV$ なので

$\displaystyle a_1=\left(\frac13\right)^2+\left(\frac23\right)^2=\frac59.$

(2)

頂点を二値座標 $A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1), D=(0,1)$ で表します。 $H$ は第1座標、 $V$ は第2座標を0と1の間で反転します。 $2n$ 回のうち $H$ が $r$ 回なら $V$ は $2n-r$ 回です。 $2n$ は偶数なので $r$ と $2n-r$ は同じ偶奇をもちます。両方偶数なら $P$ は $A$ に、両方奇数なら $C$ にいるため、 $2n$ 回後は必ず $A$ または $C$ です。

(3)

$H$ を選んだ回数が偶数なら $A$ 、奇数なら $C$ です。偶数回・奇数回の確率和をそれぞれ $a_n$ , $c_n$ とすると、二項定理より

$\displaystyle a_n+c_n=\left(\frac13+\frac23\right)^{2n}=1, \qquad a_n-c_n=\left(\frac23-\frac13\right)^{2n}=9^{-n}.$

この2式を加減して

$\displaystyle a_n=\frac{1+9^{-n}}2, \qquad c_n=\frac{1-9^{-n}}2.$

(4)

$0<1/9<1$ より $9^{-n}\to0$ です。したがって

$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac12, \qquad \lim\limits _{n\to\infty}c_n=\frac12.$

この問題で使う考え方

独立試行
偶奇の分類
二項定理
等比数列の極限

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