III横浜市立大学 2017年 数学 第III問解答・解説

各2回の投げ方で、表裏または裏表が出れば勝負がつく。ここで、1回の試行で勝負がつく確率を $2q$、勝負がつかない確率を $r$ とおくと、 $$q=p(1-p),\qquad r=p^2+(1-p)^2=1-2q.$$ 条件 $0<p<1$ より $\displaystyle 0<q\leq \dfrac14$、したがって $\displaystyle \dfrac12\leq r<1$ である。

・ A君がちょうど $2n$ 回目で勝つには、最初の $n-1$ 回の試行で勝負がつかず、最後の試行で表、裏の順に出ればよい。よってその確率は $r^{n-1}p(1-p)$ である。一方、B君がちょうど $2n$ 回目で勝つ確率も、最後の試行で裏、表の順に出る確率を用いて $r^{n-1}(1-p)p$ となる。両者は等しい。

・ $2k$ 回目でA君またはB君が勝つ確率は $2q r^{k-1}$ である。したがって、勝負が $2n$ 回以下でつく確率は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}2q r^{k-1}=2q\frac{1-r^n}{1-r}=1-r^n =1-\{p^2+(1-p)^2\}^n,$$ となる。ここで $1-r=2q$ を用いた。

・ $\displaystyle p(1-p)=\dfrac14-\left(p-\dfrac12\right)^2\leq\dfrac14$ だから、 $$\displaystyle r=1-2p(1-p)=\frac12+2\left(p-\frac12\right)^2\geq\frac12.$$ 等号は $\displaystyle p=\dfrac12$ のときに限る。正の整数 $n$ に対して $r^n$ は $r$ とともに増加するので、(2)の確率 $1-r^n$ は $r$ が最小のとき最大となる。ゆえに $\displaystyle p=\dfrac12$ のとき最大である。

・ $\displaystyle t=\dfrac{1-x}{x}>0$ とおけば $x=(1+t)^{-1}$ である。$n\geq2$ に対して二項定理と各項の非負性から $$\displaystyle (1+t)^n\geq {n\choose2}t^2=\frac{n(n-1)}2t^2.$$ したがって $$\displaystyle 0<nx^n=\frac{n}{(1+t)^n}\leq\frac{2}{(n-1)t^2}\longrightarrow0\qquad(n\to\infty),$$ であり、求める極限は $0$ である。

・ $a_i=2q r^{i-1}$ なので、 $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}2i a_i=4q\sum\limits _{i=1}^{n}i r^{i-1}.$$ $\displaystyle S_n=\sum\limits _{i=1}^{n}i r^{i-1}$ とおくと、係数をずらして引くことにより $$(1-r)S_n=1+r+\cdots+r^{n-1}-nr^n$$ となる。等比数列の和を用いて整理すれば $$\displaystyle S_n=\frac{1-(n+1)r^n+nr^{n+1}}{(1-r)^2}.$$ $0<r<1$ であり、(4)から $nr^n\to0$。また $r^n=(nr^n)/n\to0$ だから、$\displaystyle S_n\to\dfrac1{(1-r)^2}$ である。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{i=1}^{n}2i a_i=\frac{4q}{(1-r)^2} =\frac{4q}{(2q)^2}=\frac1q=\frac1{p(1-p)}.$$