II横浜市立大学 2017年 数学 第II問解答・解説

(1) 正弦の差の公式より $$\displaystyle \sin\left(\left(k+\frac12\right)x\right)-\sin\left(\left(k-\frac12\right)x\right)=2\cos(kx)\sin\frac{x}{2},$$ したがって $X=kx,\ Y=x/2$。

(2) 積和公式を $k=1,\ldots,m$ について加えると $$\displaystyle 2\sin\frac{x}{2}\sum\limits _{k=1}^{m}\cos kx =\sum\limits _{k=1}^{m}\left[\sin\left(\left(k+\frac12\right)x\right)-\sin\left(\left(k-\frac12\right)x\right)\right] =\sin\left(\left(m+\frac12\right)x\right)-\sin\frac{x}{2}.$$ 条件 $\sin(x/2)\ne0$ のもとで割れば、求める値は $1/2$。

(3) $\displaystyle C=\sum\limits _{j=0}^{n}\cos(jx)$、$\displaystyle S=\sum\limits _{j=0}^{n}\sin(jx)$ とおく。加法定理と差 $j-l$ の組数を用いて $$\displaystyle C^2+S^2=\sum\limits _{j=0}^{n}\sum\limits _{l=0}^{n}\cos((j-l)x) =(n+1)+2\sum\limits _{k=1}^{n}(n+1-k)\cos(kx).$$ よって $$\displaystyle g_n(x)=\frac{C^2+S^2-(n+1)}{2}\ge -\frac{n+1}{2},$$ ここで $C^2+S^2\ge0$ を用いた。

(1) 差の公式で $X=kx,\ Y=x/2$。 (2) 積和公式を足すと和が望遠鏡状に消え、与式は $1/2$。 (3) 正弦・余弦の有限和の二乗和を展開すると、対角項が $n+1$、差が $k$ の項が $2(n+1-k)\cos kx$ 個現れる。二乗和は非負なので下限が得られる。