4高知大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) $f(x)=|\sin(\pi x)|$ は周期 $1$ の偶関数である。整数 $k$ について、$k\le x\le k+1$ の範囲では $$f(x)=\sin(\pi(x-k)).$$ 各区間の両端で値は $0$、中点 $k+1/2$ で最大値 $1$。整数点では左右の傾きが異なるため尖点となる。この山形を整数区間ごとに繰り返す。

(2) $0\le x\le1$ で $f(x)=\sin(\pi x)$。原始関数の一つは $$\displaystyle J(x)=-\frac{e^{-x}(\sin(\pi x)+\pi\cos(\pi x))}{1+\pi^2}.$$ よって $$\displaystyle \int_0^1e^{-x}f(x)\,dx=J(1)-J(0)=\frac{\pi(e+1)}{e(\pi^2+1)}.$$

(3) $\displaystyle C=\int_0^1e^{-x}f(x)\,dx$ とおく。$f(k+t)=\sin(\pi t)$ より各範囲 $k\le x\le k+1$ の積分は $e^{-k}C$。従って $$\displaystyle I_n=C\sum\limits _{k=0}^{n-1}e^{-k}=C\frac{1-e^{-n}}{1-e^{-1}},\qquad \lim\limits _{n\to\infty}I_n=\frac{\pi(e+1)}{(e-1)(\pi^2+1)}.$$

周期性・偶性から各整数区間の形を定める。指数因子と正弦の積分を原始関数で計算し、区間ごとの寄与を等比級数に分ける。