1富山大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{4}$ として $t=\tan\theta$ と置く。このとき $$\displaystyle \frac{dt}{1+t^2}=d\theta$$ で、$t=0,1$ は $\displaystyle \theta=0,\frac{\pi}{4}$ に対応する。したがって $$\displaystyle f_1(1)=\int_0^{\pi/4}d\theta=\frac{\pi}{4}.$$

(2) $\displaystyle f_1'(u)=\frac{1}{1+u^2}$ だから、連鎖律より $x>0$ で $$\displaystyle g'(x)=f_1'(1/x)\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{1}{1+x^2}.$$ ゆえに $(f_1(x)+g(x))'=0$ で、平均値の定理からこの和は $x>0$ で一定である。$x=1$ を代入すると $g(1)=f_1(1)$ なので、和は $$\displaystyle 2f_1(1)=\frac{\pi}{2}.$$

(3) (2) より $\displaystyle f_1(x)=\frac{\pi}{2}-f_1(1/x)$。また $$\displaystyle 0\le f_1(1/x)=\int_0^{1/x}\frac{dt}{1+t^2}\le\frac{1}{x}.$$ である。右端は $x\to\infty$ で $0$ になるため、 $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f_1(x)=\frac{\pi}{2}.$$

(4) 部分積分で $u=(1+t^2)^{-n}$、$dv=dt$ とする。 $$du=-2nt(1+t^2)^{-n-1}\,dt.$$ だから、 $$\displaystyle f_n(x)=\frac{x}{(1+x^2)^n} +2n\int_0^x\frac{t^2}{(1+t^2)^{n+1}}\,dt.$$ ここで $$\displaystyle \frac{t^2}{(1+t^2)^{n+1}} =\frac{1}{(1+t^2)^n}-\frac{1}{(1+t^2)^{n+1}}$$ と変形すると、指定された漸化式を得る。

(5) $n\ge2$ では被積分関数は正で、$t\ge1$ なら $$\displaystyle \frac{1}{(1+t^2)^n}\le\frac{1}{t^{2n}}$$ である。右辺の $1$ から $\infty$ までの積分は有限なので、$f_n(x)$ は増加しながら有限値に近づく。これを $L_n$ とする。$\displaystyle L_1=\frac{\pi}{2}$ は (3) で分かる。また $n\ge1$ で $$\displaystyle 0\le\frac{x}{(1+x^2)^n}\le\frac{1}{x}\quad(x\ge1)$$ だから、この項は $x\to\infty$ で $0$ になる。(4) の両辺の極限を取ると $$\displaystyle L_{n+1}=\frac{2n-1}{2n}L_n.$$ したがって $$\displaystyle L_n=\frac{\pi}{2}\prod\limits _{k=1}^{n-1}\frac{2k-1}{2k}.$$

奇数の積と偶数の積を階乗で表すと $$\displaystyle \prod\limits _{k=1}^{n-1}\frac{2k-1}{2k} =\frac{(2n-3)!}{2^{2n-3}(n-2)!(n-1)!} =\frac{\binom{2n-3}{n-1}}{2^{2n-3}}.$$ よって $$\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f_n(x)=L_n =\frac{\binom{2n-3}{n-1}\pi}{2^{2n-2}} \qquad(n\ge2).$$