2富山大学 2014年 数学 第2問解答・解説

解説

まず $x=y=0$ と置くと、$f(0)\ne0$ の場合は $p+q=1$ です。次に $y=0$ と置くことで $q(f(x)-f(0))=0$ が得られます。$q\ne0$ なら直ちに定数関数です。$q=0$ の場合は元の式が $f(x+y)=f(x)$ となり、$x=0$ と置けばやはり定数関数だと分かります。

$f(0)=0$ で非定数の場合、どこかで $f$ は0でない値をとります。$y=0$ の代入から $p=1$、$x=0$ の代入から $q=1$ が従い、式は加法性 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ になります。差分商を使うと、どの点での導関数も $f'(0)=a$ です。従って $f(x)-ax$ は定数で、原点で0なので $f(x)=ax$ です。

原文は固定された2014年PDFの設問ページで確認し、OCR本文と照合しました。凍結run manifestと親提示input hashが一致し、PDF hashも一致しています。条件不足はありません。独立V確認前の作者答案です。

なお (2) の非定数条件から $a\ne0$ である。逆に任意の非零実数 $a$ に対し、$p=q=1,f(x)=ax$ は元の条件を満たす。