4山口大学 2014年 数学 第4問解答・解説

まず符号付きの積分を $H(x)$ とおくと $$\displaystyle H(x)=\int_0^x(t-1)(t-2)\,dt =\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x =\frac{x}{6}(2x^2-9x+12).$$ 二次式 $2x^2-9x+12$ は判別式が $81-96=-15<0$，二次の係数が正なので常に正。 従って $x>0$ では $H(x)>0$ であり，$|H(x)|=H(x)$ としてよい。 よって $$\displaystyle f(x)=\int_0^x\{|(t-1)(t-2)|-(t-1)(t-2)\}\,dt.$$ 被積分関数は $1<t<2$ でだけ $-2(t-1)(t-2)$ となり，それ以外では0。 $H(1)=5/6,H(2)=2/3$ を使うと $$\displaystyle \boxed{f(x)= \begin{cases} 0&0<x\le1,\\ -\dfrac{2x^3}{3}+3x^2-4x+\dfrac53&1\le x\le2,\\ \dfrac13&x\ge2. \end{cases}}$$ 重複して記した端点では各式の値が一致する。 $1<x<2$ では $f'(x)=-2(x-1)(x-2)>0$ であり，$f'(1)=f'(2)=0$。 従ってグラフは $0<x\le1$ で $x$ 軸上，$(1,0)$ から $(2,1/3)$ まで滑らかに増加し，$x\ge2$ では水平線 $y=1/3$ となる。原点は定義域に含まない。図に示す。