2山口大学 2014年 数学 第2問解答・解説

点 $Q(a,b)$ を双曲線の方程式に代入すると $$\displaystyle b^2=4\left(\frac{a^2}{9}-1\right),\qquad \boxed{b=\frac23\sqrt{a^2-9}},$$ $b>0$ より正の平方根をとる。双曲線の方程式の両辺を微分すると $dy/dx=4x/(9y)$ なので、点 $(a,b)$ における接線は $$\displaystyle y-b=\frac{4a}{9b}(x-a),\qquad\text{すなわち}\qquad \boxed{\frac{ax}{9}-\frac{by}{4}=1}.$$ この接線で $y=0$ とおくと $x=c=9/a$ となるので、$\boxed{c=9/a}$。また、$a>3$ だから $PQ=b$、$PR=a-9/a=(a^2-9)/a$ である。したがって $$\displaystyle \frac{PQ}{PR}=\frac{(2/3)\sqrt{a^2-9}}{(a^2-9)/a}=\frac{2a}{3\sqrt{a^2-9}}\longrightarrow\boxed{\frac23}.$$

単元：二次曲線、接線、極限。方法：双曲線の方程式への代入、方程式の両辺の微分、切片の計算、最高次の項に着目した極限の計算。テーマ：双曲線の接線と図形の関係。

Quality comparison and disposition Independent derivation was saved before consulting the prior answer. The prior final result agrees: b=2sqrt(a^2-9)/3; tangent ax/9-by/4=1; c=9/a; limit PQ/PR=2/3.. All four old answers agree; the old tangent equation is an equivalent scalar multiple. The original accepted result files and their evidence metadata remain untouched. Prior actual-result evidence was not independently validated, so actual model status stays UNVERIFIED.　 Disposition: mathematics PASS; source eligible; display matched; adopt this independent high-school solution.