1大分大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1) クジを区別し、引く順序をすべて考えると、その順序は全部で $n!$ 通りあり、どれも同様に確からしい。特定の当たりクジが $i$ 番目に来る順序は、残り $n-1$ 本を並べる方法の数だけあり、$(n-1)!$ 通りである。当たりクジは $k$ 本あるから、$i$ 番目が当たりとなる順序は $k(n-1)!$ 通りである。したがって求める確率は $\displaystyle \dfrac{k(n-1)!}{n!}=\dfrac{k}{n}$ である。　 (2) 加法定理を用いると、$$y=\sin x+2\sin(a-x)=2\sin a\cos x+(1-2\cos a)\sin x.$$ 三角関数の合成により、この関数の最大値は$$\sqrt{(2\sin a)^2+(1-2\cos a)^2}=\sqrt{4\sin^2a+1-4\cos a+4\cos^2a}=\sqrt{5-4\cos a}$$である。これが $\sqrt7$ なので、$5-4\cos a=7$、すなわち $\displaystyle \cos a=-\dfrac12$ である。よって$$\displaystyle a=2m\pi\pm\dfrac{2\pi}{3}\qquad(m\text{ は整数})$$となる。　 (3) 2曲線の交点の $x$ 座標は $ax^2=bx$ より $\displaystyle x=0,\dfrac ba$ である。$a,b>0$ だから、$\displaystyle 0<x<\dfrac ba$ では $bx>ax^2$ となる。囲まれた部分全体の面積は$$\displaystyle S=\int_0^{b/a}(bx-ax^2)\,dx=\left[\frac b2x^2-\frac a3x^3\right]_0^{b/a}=\frac{b^3}{6a^2}.$$ $\displaystyle p=\dfrac{b}{2a}$ とすると、$\displaystyle 0<p<\dfrac ba$ であり、直線 $x=p$ の左側の面積は$$\displaystyle \int_0^{b/(2a)}(bx-ax^2)\,dx=\frac{b^3}{8a^2}-\frac{b^3}{24a^2}=\frac{b^3}{12a^2}=\frac S2.$$ また、被積分関数 $bx-ax^2$ は $0<x<b/a$ で正だから、左側の面積は $p$ とともに増加する。したがって面積を二等分する直線はただ一つであり、求める値は $\displaystyle p=\dfrac{b}{2a}$ である。