1旭川医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

問1

$\cos x\ne0$ なら，その点の近くでは $\cos x$ の符号が一定である。したがって $|\cos x|$ はその近傍で $\cos x$ または $-\cos x$ と一致し，$f(x)=e^{-x}|\cos x|$ は微分可能である。一方，$\cos x=0$ となるのは $$\displaystyle x=\left(k+\frac12\right)\pi\qquad(k\text{ は整数})$$ である。$\displaystyle x_0=(k+\tfrac12)\pi$ とおくと，$|\cos x|$ の左微分係数と右微分係数はそれぞれ $-1,1$ である。$e^{-x_0}>0$ なので，$f$ の左微分係数と右微分係数もそれぞれ $-e^{-x_0},e^{-x_0}$ となり一致しない。よってこれらの点で $f$ は微分可能でない。求める点は $$\displaystyle \boxed{x=\left(k+\frac12\right)\pi\quad(k\text{ は整数})}.$$ なお，原文で証明は不要とされている。

問2

$$u=x-m\pi$$ とおくと，$-\pi/2\leq u\leq\pi/2$ であり， $$|\cos x|=|\cos(m\pi+u)|=\cos u$$ である。したがって $$f(x)=e^{-m\pi}e^{-u}\cos u.$$ $g(u)=e^{-u}\cos u$ とおけば $$g'(u)=-e^{-u}(\cos u+\sin u).$$ 区間内では $\cos u>0$ だから，$g'(u)=0$ は $\tan u=-1$，すなわち $u=-\pi/4$ のときに限る。$u<-\pi/4$ では $g'(u)>0$，$u>-\pi/4$ では $g'(u)<0$ である。端点では $g=0$ なので最大値は $u=-\pi/4$，すなわち $x=m\pi-\pi/4$ でとる。ゆえに $$\displaystyle \boxed{\max f(x)=\frac{1}{\sqrt2}e^{-m\pi+\pi/4}}.$$

問3

まず，$\displaystyle I=\int e^{-x}\cos x\,dx$，$\displaystyle J=\int e^{-x}\sin x\,dx$ とおく。部分積分より $$I=-e^{-x}\cos x-J,\qquad J=-e^{-x}\sin x+I$$ である。これを代入して $$\displaystyle 2I=e^{-x}(\sin x-\cos x),\qquad \int e^{-x}\cos x\,dx=\frac{e^{-x}}2(\sin x-\cos x)+C$$ を得る。右辺を微分すると $e^{-x}\cos x$ となることも確かめられる。

(1)

$\cos x$ は $0\leq x\leq\pi/2$ で非負，$\pi/2\leq x\leq\pi$ で非正である。上の原始関数を $$\displaystyle F(x)=\frac{e^{-x}}2(\sin x-\cos x)$$ とすると， $$\displaystyle \begin{aligned} a_1 &=\int_0^{\pi/2}e^{-x}\cos x\,dx -\int_{\pi/2}^{\pi}e^{-x}\cos x\,dx\\ &=\left(F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0)\right) -\left(F(\pi)-F\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\\ &=\frac{1+2e^{-\pi/2}-e^{-\pi}}2. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \boxed{a_1=\frac{1+2e^{-\pi/2}-e^{-\pi}}2}.$$

(2)

$|\cos(x+\pi)|=|\cos x|$ だから，$x=u+n\pi$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} a_{n+1}-a_n &=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}e^{-x}|\cos x|\,dx\\ &=e^{-n\pi}\int_0^\pi e^{-u}|\cos(u+n\pi)|\,du\\ &=e^{-n\pi}a_1. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle \boxed{ a_{n+1}=a_n+\frac{1+2e^{-\pi/2}-e^{-\pi}}2\,e^{-n\pi} }\qquad(n\text{ は }1\text{ 以上の整数}).$$

(3)

$r=e^{-\pi}$ とおくと $0<r<1$ であり，(2)を繰り返すことで $$\displaystyle a_n=a_1\sum\limits _{j=0}^{n-1}r^j =\frac{1+2e^{-\pi/2}-e^{-\pi}}2 \frac{1-e^{-n\pi}}{1-e^{-\pi}}.$$ $n\to\infty$ で $e^{-n\pi}\to0$ だから， $$\displaystyle \boxed{ \lim\limits _{n\to\infty}a_n =\frac{1+2e^{-\pi/2}-e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} }.$$