IV横浜市立大学 2017年 数学 第IV問解答・解説

（1）与えられた関数を微分すると $$\displaystyle P'(t)=-\gamma\left(P_0-\frac{\kappa}{\gamma}\right)e^{-\gamma t}.$$ 一方、 $$\displaystyle \kappa-\gamma P(t) =\kappa-\gamma\left\{\frac{\kappa}{\gamma}+\left(P_0-\frac{\kappa}{\gamma}\right)e^{-\gamma t}\right\} =-\gamma\left(P_0-\frac{\kappa}{\gamma}\right)e^{-\gamma t} =P'(t).$$ また $P(0)=P_0$ である。よって関数は方程式と初期条件を満たす。

（2）$x=e^{-3\gamma}$ とおくと $x>0$。もし $x=1$ なら $P(3)=5$ となり、データ $P(3)=11$ に反するので $x\ne1$。 $$11=\alpha+(5-\alpha)x$$ から $$\displaystyle \alpha=\frac{11-5x}{1-x},\qquad 5-\alpha=-\frac6{1-x}.$$ さらに $e^{-9\gamma}=x^3$ と $P(9)=17$ を用いると $$\displaystyle 17=\alpha+(5-\alpha)x^3=\frac{11-5x-6x^3}{1-x},$$ したがって $$x^3-2x+1=0=(x-1)(x^2+x-1).$$ $x\ne1$ かつ $x>0$ より $$\displaystyle x=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$ このとき $x^2=1-x$ なので $$\displaystyle \alpha=\frac{11-5x}{1-x}=\frac{11}{x^2}-\frac5x =11(2+x)-5(1+x)=14+3\sqrt5\ \mathrm{mg}.$$

（3）$x=(\sqrt5-1)/2=((1+\sqrt5)/2)^{-1}$ だから、$\log$ を自然対数とすると $$\displaystyle -3\gamma=\log x=-\log\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \gamma=\frac13\log\frac{1+\sqrt5}{2}\ \mathrm{h}^{-1}.$$

（4）$e^{-6\gamma}=x^2=1-x$ を用いると $$\displaystyle P(6)=\alpha+(5-\alpha)x^2=5+(\alpha-5)x =5+(9+3\sqrt5)\frac{\sqrt5-1}{2} =8+3\sqrt5\simeq14.7\ \mathrm{mg}.$$ 表の $15.0\ \mathrm{mg}$ に近い。

数値x=e^{−3γ}>0を導入してP(3)=11、P(9)=17を連立する。x=1はP(3)=5となり不適、残る正根は(√5−1)/2。これからα、γ、P(6)を順に計算する。