2浜松医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) $k\le n$ より、$j=0,1,\ldots,k-1$ について $$\displaystyle \frac{n-j}{k-j}\ge\frac nk,$$ これは $k(n-j)-n(k-j)=j(n-k)\ge0$ による。従って $$\displaystyle \binom nk=\prod\limits _{j=0}^{k-1}\frac{n-j}{k-j}\ge\left(\frac nk\right)^k.$$

(2) $h(t)=e^t-1-t$ とおく。$h'(t)=e^t-1$ は $t<0$ で負、$t>0$ で正だから、$h$ は $t=0$ で最小値 $h(0)=0$ をとる。よって $1+t\le e^t$。

(3) $t\ge0$ なら二項定理の各項は非負なので、$\displaystyle \binom nk t^k\le(1+t)^n$。また(2)より $1+t\le e^t$ であるから $$\displaystyle \binom nk t^k\le(1+t)^n\le e^{nt}.$$

(4) (3)で $t=k/n$ とすれば $$\displaystyle \binom nk\left(\frac kn\right)^k\le e^k, \quad\text{従って}\quad \binom nk\le\left(\frac{en}{k}\right)^k.$$

(5) $\displaystyle N=\binom{10^{23}}{10^2}$ とおく。(1)より $N\ge(10^{21})^{100}=10^{2100}$。一方、$e<3<\sqrt{10}$ より(4)から $$N\le(e\,10^{21})^{100}<10^{2100}10^{50}=10^{2150}.$$ 従ってNの桁数をDとすると $2101\le D\le2150$。下2桁を切り捨てる値は $\lfloor D/100\rfloor$ なので、答えは $21$。

(1) 二項係数をk個の比の積として表し、各因子をn/kと比較する。(2) e^t−1−tの導関数の符号から最小値0を示す。(3) 二項展開で左辺は(1+t)^nの一項以下、これをe^(nt)で上から押さえる。(4) t=k/nを代入。(5) 得られた上下界から二項係数の桁数Dは2101〜2150桁。よってDの下2桁を切り捨てる、すなわち100で割った整数部分は21。