浜松医科大学 2018年数学第1問解答・解説

積分法

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1問題

浜松医科大学2018年度第1問

自然数 $n$ に対して $\displaystyle I_{n}=\displaystyle\int\frac{1}{\cos^{n}x}\,dx$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 不定積分 $I_{2}$ を求めよ。

(2) 不定積分 $I_{4}$ を求めよ。

(3) 不定積分 $I_{3}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$I_2=\tan x+C\quad$ , $\displaystyle \quad I_4=\tan x+\frac13\tan^3x+C\quad$ , $\displaystyle \quad I_3=\frac12(\sec x\tan x+\log|\sec x+\tan x|)+C\quad$ （ $\quad \cos x\ne0\quad$ の各区間）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\cos x\ne0$ の各区間で考える。

(1) $\displaystyle I_2=\int\sec^2x\,dx=\tan x+C$ 。

(2) $u=\tan x$ と置くと $du=\sec^2x\,dx$ 、 $\sec^2x=1+u^2$ より $\displaystyle I_4=\int(1+u^2)du=\tan x+\frac13\tan^3x+C$ 。

(3) 部分積分と $\tan^2x=\sec^2x-1$ より $2I_3=\sec x\tan x+I_1$ 。また $I_1=\log|\sec x+\tan x|+C$ なので $\displaystyle I_3=\frac12(\sec x\tan x+\log|\sec x+\tan x|)+C$ 。微分で3式とも被積分関数に戻る。

置換積分と部分積分を用い、定義域上で各原始関数を微分確認する。

この問題で使う考え方

置換積分
部分積分
三角関数の恒等式
微分による検算

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