4浜松医科大学 2018年 数学 第4問解答・解説

(1) まず $p=a+b+c,\ q=ab+bc+ca,\ r=abc$ とおく。与えられた恒等式に $x=a$ を代入すると $a^3-pa^2+qa-r=0$ である。両辺に $a^n$ を掛け、$a^{n+3}-pa^{n+2}+qa^{n+1}-ra^n=0$ を得る。同じ式が $b,c$ についても成り立つので、3式を加えると $$S_{n+3}-pS_{n+2}+qS_{n+1}-rS_n=0\quad(n=1,2,3,\ldots)$$ となる。したがって $$S_{n+3}=(a+b+c)S_{n+2}-(ab+bc+ca)S_{n+1}+abcS_n\quad(n\ge1).$$

(2) $a+b+c=0$ とおき、$q=ab+bc+ca,\ r=abc$ とする。このとき $$\displaystyle q=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}<0$$ であり、$r\ne0$ だから $q,r$ はともに0でない。よって後で得る $S_5,S_7$ も0でない。まず $$S_2=(a+b+c)^2-2q=-2q,\qquad S_3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)q+3r=3r.$$ (1) の漸化式は $S_{n+3}+qS_{n+1}-rS_n=0$ となる。$$\begin{aligned} n=1&:\quad S_4+qS_2-rS_1=0,\quad S_1=0,\quad S_4=2q^2,\\ n=2&:\quad S_5+qS_3-rS_2=0,\quad S_5=rS_2-qS_3=-5qr,\\ n=4&:\quad S_7+qS_5-rS_4=0,\quad S_7=rS_4-qS_5=7q^2r.\end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \frac{S_2S_3}{S_5}=\frac{(-2q)(3r)}{-5qr}=\frac65,\qquad \frac{(S_2)^2S_3}{S_7}=\frac{4q^2(3r)}{7q^2r}=\frac{12}{7},\qquad \frac{S_2S_5}{S_7}=\frac{(-2q)(-5qr)}{7q^2r}=\frac{10}{7}.$$

(3) $\displaystyle \frac65,\frac{12}{7},\frac{10}{7}$ はいずれも1より大きく2より小さい。

三次式の根a,b,cが満たす恒等式を各々の冪に掛けて加え、$S_n$の漸化式を得る。a+b+c=0の下でq=ab+bc+ca、r=abcを用いて必要な項を表し、三つの比を評価する。