3浜松医科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

三角形の辺の長さを $a,b,c$、半周長の2倍を $S=a+b+c$、内接円の半径を $r$、面積を $\Delta$ とする。内心から各辺までの距離は $r$ なので $$\displaystyle [IBC]=\frac{ar}{2},\qquad [ICA]=\frac{br}{2},\qquad [IAB]=\frac{cr}{2},\qquad \Delta=\frac{rS}{2}.$$ 三角形の面積比による位置ベクトルの表示から $$\displaystyle \vec{OI}=\frac{a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}}{S},\qquad \vec{OG}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}.$$ したがって、係数の和が0であることを使って基準点を $A$ に移せば $$\displaystyle \vec{IG}=\left(\frac13-\frac{b}{S}\right)\vec{AB} +\left(\frac13-\frac{c}{S}\right)\vec{AC},$$ となり、(1) が得られる。

(2) 三角形は退化していないため $\vec{AB},\vec{AC}$ は一次独立である。上式から $$\displaystyle \vec{IG}=\vec0\quad\text{すなわち}\quad b=\frac S3,\ c=\frac S3 \quad\text{すなわち}\quad a=b=c.$$ 逆向きも、$a=b=c$ を代入すれば二係数がともに0となる。

(3) $\displaystyle x=\frac13-\frac bS$、$\displaystyle y=\frac13-\frac cS$ とおくと $\vec{IG}=x\vec{AB}+y\vec{AC}$ である。正三角形でないので $\vec{IG}\ne\vec0$。また $\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$ より、$IG$ と辺の平行条件は $$\begin{aligned} \vec{IG}\parallel\vec{AB}&\quad\text{すなわち}\quad y=0\quad\text{すなわち}\quad a+b=2c,\\ \vec{IG}\parallel\vec{AC}&\quad\text{すなわち}\quad x=0\quad\text{すなわち}\quad a+c=2b,\\ \vec{IG}\parallel\vec{BC}&\quad\text{すなわち}\quad x+y=0\quad\text{すなわち}\quad 2a=b+c. \end{aligned}$$ よって条件 $q$ は、$a,b,c$ のいずれか一つが他の二つの平均であることと同値である。これは、その数が中央になるように並べ替えると三数が等差数列になること、すなわち $p$ と同値である。以上から $p\text{ と }q\text{ は同値である}$。