8千葉大学 2018年 数学 第8問解答・解説

正方形の一辺を $1$ とし、順に $A=(0,1), B=(0,0), C=(1,0), D=(1,1)$ と置く。内部点 $P=(u,v)$ は $0<u,v<1$ を満たす。このとき $$\overrightarrow{PA}=(-u,1-v),\quad \overrightarrow{PB}=(-u,-v),\quad \overrightarrow{PC}=(1-u,-v).$$ 直交条件より $$0=\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=u^2-v(1-v),\quad\text{すなわち }u^2=v(1-v).$$ したがって $$|\overrightarrow{PB}|^2=u^2+v^2=v,\qquad |\overrightarrow{PA}|^2=u^2+(1-v)^2=1-v.$$ よって $\alpha^2=v/(1-v)$ であり、$\alpha>0$ を用いて $$\displaystyle v=\frac{\alpha^2}{1+\alpha^2},\qquad u=\sqrt{v(1-v)}=\frac{\alpha}{1+\alpha^2}.$$ $x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}$ の成分を比べると $$-u(x+y)=1-u,\qquad x(1-v)-yv=-v.$$ 前者から $x+y=1-1/u$。後者に $y=(x+y)-x$ を代入すると $x=v((x+y)-1)=-v/u=-\alpha$。さらに $1/u=\alpha+1/\alpha$ なので $$\displaystyle y=(x+y)-x=1-\frac1u+\alpha=1-\frac1\alpha.$$ したがって $$\displaystyle x+y=1-\alpha-\frac1\alpha=-1-\frac{(\alpha-1)^2}{\alpha}\le -1.$$ 等号は $\alpha=1$ のときに限る。このとき $u=v=1/2$ なので、$P$ は正方形 $ABCD$ の中心であり、最大値は $-1$ である。