7千葉大学 2018年 数学 第7問解答・解説

等差数列の一般項は $a_n=6n-5$, $b_m=4m-1$ である。

(1) 共通項では $6n-5=4m-1$, すなわち $3n-2m=2$。右辺と $2m$ が偶数なので $3n$ は偶数、したがって $n=2k$ と書ける。すると $m=3k-1$ であり、正の整数条件から $k\ge1$。よって $c_k=a_{2k}=12k-5$。

(2) $a_n$ は法12で1または7、$b_m$ は法12で3, 7, 11に合同である。したがって和集合の項は、各 $q=0,1,2,\ldots$ について $12q+1,12q+3,12q+7,12q+11$ の順に並ぶ。これを4項ずつ数えると $$d_{4q+1}=12q+1,\quad d_{4q+2}=12q+3,\quad d_{4q+3}=12q+7,\quad d_{4q+4}=12q+11.$$

(3) 先頭からの完全な $q$ ブロックの和は $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{q-1}\bigl((12j+1)+(12j+3)+(12j+7)+(12j+11)\bigr)=\sum\limits _{j=0}^{q-1}(48j+22)=24q^2-2q.$$ $\ell=4q+r$（$r=0,1,2,3$）とおく。次のブロックから残る $r$ 項の和は、順に $0,12q+1,24q+4,36q+11$ だから、 $$S_\ell=\begin{cases}24q^2-2q &(r=0),\\24q^2+10q+1 &(r=1),\\24q^2+22q+4 &(r=2),\\24q^2+34q+11 &(r=3).\end{cases}$$

共通項では3n−2m=2よりnは偶数なのでn=2k,m=3k−1となる。和集合は法12で1,3,7,11の4剰余が順に一度ずつ現れる。各4項ブロックの和を足し、最後に残る0〜3項を場合分けする。