10千葉大学 2018年 数学 第10問解答・解説

(1) x を固定し、t で微分すると $$\displaystyle \frac{d}{dt}\left\{\frac12 e^{t-x}\bigl(\sin(t+x)-\cos(t+x)\bigr)\right\} =\frac12e^{t-x}\bigl(\sin(t+x)-\cos(t+x)+\cos(t+x)+\sin(t+x)\bigr) =e^{t-x}\sin(t+x).$$ したがって、この式を原始関数として上下端を代入すれば $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=\left[\frac12 e^{t-x}\bigl(\sin(t+x)-\cos(t+x)\bigr)\right]_{t=0}^{t=x}\\ &=\frac12\left(\sin 2x-\cos 2x-e^{-x}(\sin x-\cos x)\right). \end{aligned}$$ (2) $x\ne0$ とする。$\displaystyle \min(0,x)\leq t\leq\max(0,x)$ なら |t-x|$\le$|x| および |t+x|$\le$2|x| である。 また、 |$\sin$ y|=$\displaystyle \left|\int_0^y\cos u\,du\right|$$\le$|y|（|$\cos$ u|$\le$1）なので、 $$\displaystyle \begin{aligned} |f(x)| &=\left|\int_0^x e^{t-x}\sin(t+x)\,dt\right|\\ &\le\int_{\min(0,x)}^{\max(0,x)}e^{t-x}|\sin(t+x)|\,dt\\ &\le |x|\,e^{|x|}\,2|x|=2e^{|x|}|x|^2. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle \left|\frac{f(x)}x\right|\le2e^{|x|}|x|\longrightarrow0\quad(x\to0), \qquad\text{したがって}\quad\lim\limits _{x\to0}\frac{f(x)}x=0.$$