2千葉大学 2018年 数学 第2問解答・解説

立方体の辺を座標軸に平行にとり、$A=(0,0,0), B=(2,0,0), C=(2,2,0), D=(0,2,0), E=(0,0,2), F=(2,0,2), G=(2,2,2), H=(0,2,2)$ とする。$O=(1,1,1)$ だから、 $$\overrightarrow{OA}=(-1,-1,-1),\quad \overrightarrow{OD}=(-1,1,-1),\quad |OA|=|OD|=\sqrt3,\quad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}=1.$$ よって、$\angle AOD=\theta$ とすると$\displaystyle \cos\theta=\frac13$、したがって$\displaystyle \sin\theta=\frac{2\sqrt2}{3}$ である。

$t=AP$ とおくと$OP=\sqrt3-t$、条件から$OQ=2t-1$。$Q$ が線分$DO$上にあることより$0\le 2t-1\le\sqrt3$、すなわち$\displaystyle \frac12\le t\le\frac{1+\sqrt3}{2}$。ただし$Q\ne O$ なので$\displaystyle t>\frac12$。この範囲では$P\ne O$ も満たされる。

$$\displaystyle [OPQ]=\frac12(\sqrt3-t)(2t-1)\sin\theta =\frac{\sqrt2}{3}(\sqrt3-t)(2t-1).$$ ここで $$\displaystyle (\sqrt3-t)(2t-1) =-2\left(t-\frac{2\sqrt3+1}{4}\right)^2+\frac{13-4\sqrt3}{8}.$$ 頂点$\displaystyle t=\frac{2\sqrt3+1}{4}$ は$\displaystyle \frac12<t<\frac{1+\sqrt3}{2}$ を満たすため、最大値は実際に達成される。したがって、求める面積の最大値は $$\displaystyle \boxed{\frac{\sqrt2(13-4\sqrt3)}{24}}.$$