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山形大学／2018年度

山形大学 2018年 数学 第6問解答・解説

いろいろな式極限数列平面上の曲線と複素数平面

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1問題

山形大学2018年度第6問

i を虚数単位とし, 複素数 α\alpha に対してその共役な複素数を α‾\overline{\alpha} で表す. z1=iz_{1}=i とし, 複素数 z1,z2,⋯ ,zn,⋯z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}, \cdots が

zn+1=zn+(−45i)n×i(n=1,2,3,… )\displaystyle z _ {n + 1} = z _ {n} + \left(- \frac {4}{5} i\right) ^ {n} \times i \quad (n = 1, 2, 3, \dots)

を満たすとする.また， γn=−i×zn‾\gamma_{n}=-i\times\overline{z_{n}} とする.このとき，次の問に答えよ.

(1) 複素数 z2z_{2} , z4z_{4} を求めよ.

(2) 複素数 γ2\gamma_{2} , γ4\gamma_{4} を求めよ.

(3) 自然数 m に対して, 複素数 γ2m\gamma_{2m} の実部を ama_{m} , 虚部を bmb_{m} とする. 極限値 lim⁡m→∞am\displaystyle \lim\limits _{m\to\infty}a_{m} と lim⁡m→∞bm\displaystyle \lim\limits _{m\to\infty}b_{m} を求めよ.

(4) a=lim⁡m→∞am,b=lim⁡m→∞bm\displaystyle a = \lim\limits _{m \to \infty} a_m, b = \lim\limits _{m \to \infty} b_m とし, γ=a+bi,z=−i×γ‾\gamma = a + bi, z = -i \times \overline{\gamma} とする. 複素数平面において，点 z を点 γ のまわりに π3\displaystyle \frac{\pi}{3} だけ回転して得られる点を表す複素数 w を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) z2=45+i,z4=36125+925i\displaystyle \quad z_2=\frac45+i,\quad z_4=\frac{36}{125}+\frac9{25}i\quad ; (2) γ2=−1−45i,γ4=−925−36125i\displaystyle \quad \gamma_2=-1-\frac45i,\quad\gamma_4=-\frac9{25}-\frac{36}{125}i\quad ; (3) lim⁡am=−2541,lim⁡bm=−2041\displaystyle \quad \lim a_m=-\frac{25}{41},\quad\lim b_m=-\frac{20}{41}\quad ; (4) w=5(1+93)82(−1+i)\displaystyle \quad w=\frac{5(1+9\sqrt3)}{82}(-1+i)\quad .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) r=−45i\displaystyle r=-\frac45i とおくと、漸化式は zn+1=zn+irnz_{n+1}=z_n+ir^n である。 z2=i+ir=i+i(−45i)=45+i.\displaystyle z_2=i+ir=i+i\left(-\frac45i\right)=\frac45+i. また r2=−1625, r3=64125i\displaystyle r^2=-\frac{16}{25},\ r^3=\frac{64}{125}i なので z3=z2+ir2=45+925i,z4=z3+ir3=36125+925i.\displaystyle z_3=z_2+ir^2=\frac45+\frac9{25}i,\qquad z_4=z_3+ir^3=\frac{36}{125}+\frac9{25}i.

(2) γn=−izn‾\gamma_n=-i\overline{z_n} より γ2=−i(45−i)=−1−45i,γ4=−i(36125−925i)=−925−36125i.\displaystyle \gamma_2=-i\left(\frac45-i\right)=-1-\frac45i, \qquad \gamma_4=-i\left(\frac{36}{125}-\frac9{25}i\right)=-\frac9{25}-\frac{36}{125}i.

(3) r=−45i\displaystyle r=-\frac45i は ∣r∣=45<1\displaystyle |r|=\frac45<1 を満たすので、r2m−1→0r^{2m-1}\to0 である。等比数列の和から z2m=i(1+r(1−r2m−1)1−r)⟶i1−r=i1+45i=20+25i41.\displaystyle z_{2m}=i\left(1+\frac{r(1-r^{2m-1})}{1-r}\right)\longrightarrow \frac{i}{1-r}=\frac{i}{1+\frac45i}=\frac{20+25i}{41}. したがって γ2m=−iz2m‾⟶−i(20−25i41)=−2541−2041i.\displaystyle \gamma_{2m}=-i\overline{z_{2m}}\longrightarrow -i\left(\frac{20-25i}{41}\right)=-\frac{25}{41}-\frac{20}{41}i. よって lim⁡m→∞am=−2541,lim⁡m→∞bm=−2041\displaystyle\lim\limits _{m\to\infty}a_m=-\frac{25}{41},\quad \lim\limits _{m\to\infty}b_m=-\frac{20}{41}。

(4) γ=−2541−2041i\displaystyle \gamma=-\frac{25}{41}-\frac{20}{41}i なので z=−iγ‾=2041+2541i,z−γ=4541(1+i).\displaystyle z=-i\overline{\gamma}=\frac{20}{41}+\frac{25}{41}i,\qquad z-\gamma=\frac{45}{41}(1+i). 複素数平面で反時計回りに π3\displaystyle \frac{\pi}{3} 回転するから w=γ+(z−γ)(cos⁡π3+isin⁡π3)=−25−20i41+4582{(1−3)+(1+3)i}=5(1+93)82(−1+i).\displaystyle \begin{aligned} w&=\gamma+(z-\gamma)\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)\\ &=\frac{-25-20i}{41}+\frac{45}{82}\left\{(1-\sqrt3)+(1+\sqrt3)i\right\}\\ &=\frac{5(1+9\sqrt3)}{82}(-1+i). \end{aligned}

この問題で使う考え方

  • 複素数の四則演算
  • 無限等比級数
  • 数列の極限
  • 複素数平面
  • 複素数の極形式
  • 一般角と弧度法
  • 三角比と相互関係

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