1滋賀医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

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数学の確認

$f'(x)=e^x(x+1)$ は $-1\le x\le2$ の範囲で0以上、内部で正なのでfは増加する。よって $\displaystyle m=f(-1)=-\frac1e$、$M=f(2)=2e^2$。

$F(x)=(x-1)e^x$ とすれば $F'=f$。$m<t<M$ に対して $f(a)=t$ となる $a$ は一つで、絶対値積分を $a$ で分けると

$g(t)=F(-1)+F(2)-2F(a)+t(2a-1)$。

微分すると $g'(t)=2a-1$（aを含む項の微分は $-2f(a)a'+2ta'=0$ と相殺）。aはtとともに増加するので、gは $\displaystyle a<\frac12$ で減少、$\displaystyle a>\frac12$ で増加する。区間外では $t\le m$ ならgは傾き−3で減少し、$t\ge M$ なら傾き3で増加。従って実数全体の唯一の最小点は $\displaystyle t_0=f(\frac12)=\frac{\sqrt e}{2}$。$\displaystyle F(-1)=-\frac2e$、$F(2)=e^2$、$\displaystyle F(\frac12)=-\frac{\sqrt e}{2}$ から $\displaystyle g(t_0)=e^2+\sqrt e-\frac2e$。

(3)で同じ分割式を $t=f(a)$ と置き換え、単調性による置換をすると

$\displaystyle \int_m^M g(t)\,dt=\int_{-1}^{2}\{C-2F(x)+f(x)(2x-1)\}f'(x)\,dx$、$C=F(-1)+F(2)$。

部分積分で $\displaystyle Q-(M+m)K+\frac32(M^2+m^2)$（$\displaystyle K=\int f$、$\displaystyle Q=\int f^2$）に整理される。$\displaystyle K=e^2+\frac2e$、$\displaystyle Q=\int x^2e^{2x}\,dx=\frac54(e^4-e^{-2})$。m,Mを代入すると $\displaystyle \frac{21e^4}{4}-3e+\frac9{4e^2}$。採用答案の三問と一致する。

範囲・表示・ラベル

指数関数の微分、絶対値を符号で分ける定積分、置換積分、部分積分を用い、高校数学IIIの範囲で説明できる。最小点が実数全体で一意であること、積分区間mからMを照合した。表示訂正は不要。

**答**

(1) $\displaystyle m=-\frac1e$、$M=2e^2$。

(2) $\displaystyle t=\frac{\sqrt e}{2}$、$\displaystyle \min g=e^2+\sqrt e-\frac2e$。

(3) $\displaystyle \int_m^M g(t)\,dt=\frac{21e^4}{4}-3e+\frac9{4e^2}$。