2滋賀医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

$R^2=a^2+b^2$, $A=(u,v)$ とおく。点 $A$ は円 $C$ 上にあるので $u^2+v^2=R^2$ である。 $p^2+q^2=1$ を満たす方向 $(p,q)$ の、$A$ を通る直線は $$-qx+py=k,\qquad k=-qu+pv$$ と書ける。この直線が $E$ の接線となる条件は $$k^2=a^2q^2+b^2p^2 \tag{*}$$ である。実際、$X=x/a,\ Y=y/b,\ \alpha=-aq,\ \beta=bp$ とおけば、$E$ 上では $X^2+Y^2=1$ であり、 $$(\alpha X+\beta Y)^2+(\beta X-\alpha Y)^2 =(\alpha^2+\beta^2)(X^2+Y^2)=\alpha^2+\beta^2.$$ したがって $\alpha X+\beta Y=k$ が $E$ とただ1点で交わる条件は $k^2=\alpha^2+\beta^2$ で、これが (*) に等しい。

(1) いま $(p,q)$ を2本の接線のうち1本の方向とする。直交する方向 $(-q,p)$ の直線について、接線条件は $$(pu+qv)^2=a^2p^2+b^2q^2$$ である。一方、最初の接線に (*) を用いると $$(pu+qv)^2 =u^2+v^2-(-qu+pv)^2 =R^2-(a^2q^2+b^2p^2) =a^2p^2+b^2q^2.$$ よって直交する直線も $E$ の接線である。2本の接線は異なるから、これらが $AP,AQ$ の方向となり、$AP\perp AQ$ である。

(2) $(p,q)$ の方向の直線と $C$ との交点を $A,P$ とする。点 $A+t(p,q)$ が円 $C$ 上にあることは $$t\{t+2(pu+qv)\}=0$$ と同値なので、$AP=2|pu+qv|$ である。もう一方の接線の方向は $(-q,p)$ だから、同様に $AQ=2|-qu+pv|$ である。(*) と (1) の式から $$AP^2=4(a^2p^2+b^2q^2),\qquad AQ^2=4(a^2q^2+b^2p^2).$$ 面積を $S$ とすれば $$\displaystyle S^2=\frac14AP^2AQ^2 =4\{a^2b^2+(a^2-b^2)^2p^2q^2\}.$$ $p^2+q^2=1$ より $0\le p^2q^2\le 1/4$ であり、$a\ne b$ だから $S$ の最小値は $2ab$、最大値は $a^2+b^2=R^2$ である。

最小値の等号は $pq=0$ のときで、接線は水平と鉛直になる。例えば $q=0$ なら (*) は $v^2=b^2$ となり、$u^2+v^2=R^2$ から $u^2=a^2$ を得る。$p=0$ でも同じ4点である。逆に $A=(\pm a,\pm b)$（符号は独立）では、接線 $y=v,\ x=u$ と $C$ の弦の長さはそれぞれ $2a,\ 2b$ なので、確かに $S=2ab$ となる。

最大値の等号は $p^2=q^2=1/2$ のときである。このとき (*) は $$\displaystyle (-qu+pv)^2=\frac{R^2}{2}.$$ 左辺は $u^2+v^2=R^2$ により $R^2/2-2pquv$ だから、$pq\ne0$ より $uv=0$ である。逆に $A=(\pm R,0),(0,\pm R)$ では $p^2=q^2=1/2$ の直線が (*) を満たすため、最大値をとる。ゆえに求める座標は、最大のとき $$A=(\pm\sqrt{a^2+b^2},0),\quad(0,\pm\sqrt{a^2+b^2}),$$ 最小のとき $$A=(\pm a,\pm b)\qquad\text{（各符号は独立）}$$ である。