2群馬大学 2007年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) 直線 }l\text{ は }y=m(x-2),\text{ すなわち }mx-y-2m=0.\text{ 原点から }l\text{ までの距離を }d\text{ とすると、}\\ d=\frac{2|m|}{\sqrt{m^2+1}}.\text{ 円 }C\text{ と異なる2点で交わる条件は }d<1\text{ だから、}\\ \frac{4m^2}{m^2+1}<1\text{であるための必要十分条件は}3m^2<1\text{、すなわち}-\frac1{\sqrt3}<m<\frac1{\sqrt3}.\\ \text{(2) 弦 }AB\text{ の中点は原点から距離 }d\text{ にあり、半弦長は }\sqrt{1-d^2}.\text{ よって}\quad [OAB]=\frac12\cdot2\sqrt{1-d^2}\cdot d=d\sqrt{1-d^2}.\\ \text{ここで }1-d^2=\frac{1-3m^2}{1+m^2}\text{ なので、}\quad [OAB]=\frac{2|m|}{\sqrt{1+m^2}}\cdot\frac{\sqrt{1-3m^2}}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{2|m|\sqrt{1-3m^2}}{1+m^2}.\\ \text{(3) 原点から }l\text{ に下ろした垂線の足を }H\text{ とし、}\overrightarrow{HA}=\mathbf v\text{ とおく。}H\text{ は弦の中点なので }\overrightarrow{HB}=-\mathbf v,\ \overrightarrow{OH}\perp\mathbf v.\\ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=(\overrightarrow{OH}+\mathbf v)\cdot(\overrightarrow{OH}-\mathbf v)=|OH|^2-|\mathbf v|^2.\\ |OH|=d,\quad |\mathbf v|^2=1-d^2\text{ より、}\quad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2d^2-1=\frac{8m^2}{1+m^2}-1=\frac{7m^2-1}{1+m^2}.$$