3群馬大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$L=\ln2$ とおく。(1) では $$\displaystyle f'(x)=L(2^x+2^{-x})-\frac12.$$ $u=2^x>0$ とすると $u+u^{-1}\ge2$ なので $2^x+2^{-x}\ge2$。また $$\displaystyle L=\int_1^2\frac{du}{u}>\int_1^2\frac12\,du=\frac12.$$ したがって $\displaystyle f'(x)\ge2L-\frac12>0$ が全ての実数 $x$ で成り立ち、$f$ は常に増加する。

(2) $f(0)=0$、$f(1)=1$ だから、$0\le x\le1$ の範囲で $f(x)$ は0以上1以下のすべての値をとり、逆関数 $g$ の定義域は $0\le x\le1$ である。領域は $0\le x\le1$、$0\le y\le g(x)$ であり、回転体の体積は円板法で $$\displaystyle V=\pi\int_0^1g(x)^2\,dx.$$ $x=f(t)$ と置換すると $g(f(t))=t$、$dx=f'(t)\,dt$、積分区間は $0\le t\le1$ なので $$\displaystyle \frac V\pi=\int_0^1t^2f'(t)\,dt =\left[t^2f(t)\right]_0^1-2\int_0^1tf(t)\,dt =1-2\int_0^1tf(t)\,dt.$$ $$\displaystyle A=\int_0^1t2^t\,dt,\qquad B=\int_0^1t2^{-t}\,dt$$ とおくと、部分積分から $$\displaystyle A=\left[2^t\left(\frac tL-\frac1{L^2}\right)\right]_0^1 =\frac2L-\frac1{L^2}, \qquad B=\left[-2^{-t}\left(\frac tL+\frac1{L^2}\right)\right]_0^1 =-\frac1{2L}+\frac1{2L^2}.$$ また $\displaystyle \int_0^1 t f(t)\,dt=A-B-\frac12\int_0^1t^2dt=A-B-\frac16$ である。よって $$\displaystyle \frac V\pi=\frac43-2A+2B =\frac43-\frac5L+\frac3{L^2},$$ したがって $$\displaystyle \boxed{V=\pi\left(\frac43-\frac5{\ln2}+\frac3{(\ln2)^2}\right)}.$$