4北海道大学 2010年 数学 第4問解答・解説

微分して被積分関数になることを確かめれば $$\displaystyle I_1=\int te^t dt=e^t(t-1)+C,\qquad I_2=\int t^2e^t dt=e^t(t^2-2t+2)+C.$$ 絶対値により積分区間を分けると $$\displaystyle f(x)=e^{-x}\int_0^x e^t(t-t^2)dt+e^x\int_x^1 e^{-t}(t-t^2)dt.$$ 原始関数はそれぞれ $e^t(-t^2+3t-3)$、$e^{-t}(t^2+t+1)$。端点を代入して整理すると $$f(x)=3e^{-x}+3e^{x-1}-2x^2+2x-4.$$

導関数を $\displaystyle d=\frac12-x$ で表すと $$f'(x)=G(d),\qquad G(d)=4d-3e^{-1/2}(e^d-e^{-d}).$$ $G$ は奇関数で、$\displaystyle 0<d\le\frac12$ では $$G''(d)=-3e^{-1/2}(e^d-e^{-d})<0.$$ 従って $G$ はこの区間で凹で、両端を結ぶ弦の上にある。$$\displaystyle G(0)=0,\qquad G\left(\frac12\right)=\frac3e-1>0$$ （$e<3$）より、$\displaystyle G(d)>0\quad(0<d\le\frac12)$。奇関数性から負の $d$ では $G(d)<0$。ゆえに $f'(x)>0$ for $\displaystyle x<\frac12$、$f'(x)<0$ for $\displaystyle x>\frac12$ で、最大は $\displaystyle x=\frac12$。