5北海道大学 2010年 数学 第5問解答・解説

当たりくじ2本が並ぶ位置の組は、全 $\displaystyle \binom{102}{2}=5151$ 通りが同様に確からしい。

(1) 最初の当たりの位置を $N$ とする。$N=n$ となるには、位置 $n$ に当たりがあり、もう一方が $n+1,\ldots,102$ のいずれかにある。よって有利な組は $102-n$ 通りで、 $$\displaystyle P(N=n)=\frac{102-n}{5151}\quad(1\le n\le101),\qquad P(N=102)=0.$$

(2) A、B、Cが引く位置はそれぞれ $1+3k,2+3k,3+3k$（$k=0,\ldots,33$）。最初の当たりが位置 $i$ にある組は $102-i$ 通りなので、該当組数は $$\displaystyle \begin{aligned} A &: \sum\limits _{k=0}^{33}(101-3k)=1751,\\ B &: \sum\limits _{k=0}^{33}(100-3k)=1717,\\ C &: \sum\limits _{k=0}^{33}(99-3k)=1683. \end{aligned}$$ したがって各確率は、$1751/5151=103/303$、$1717/5151=1/3$、$1683/5151=33/101$ である。分子の合計は $5151$ となり、3人の確率の合計も1と確認できる。