3東北大学 2010年 数学 第3問解答・解説

・ 5回の各取り出しは独立で、各数字が出る確率は$\displaystyle \frac14$である。したがって全結果列は$4^5=1024$通りあり、同様に確からしい。数字1が現れる2つの位置の選び方は$\displaystyle \binom52$通りで、残りの3位置にはそれぞれ数字2,3,4のいずれかが入る。よって求める確率は $$\displaystyle \frac{\binom52\,3^3}{4^5}=\frac{270}{1024}=\frac{135}{512}.$$

・ 数字1の位置を5通り、数字2の位置を残りの4通りから選ぶ。残った3位置にはそれぞれ数字3または4が入るので、求める確率は $$\displaystyle \frac{5\cdot4\cdot2^3}{4^5}=\frac{160}{1024}=\frac{5}{32}.$$

・ $i=1,2,3,4$に対し、$A_i$を「数字$i$がちょうど2回現れる」事象とする。各$i$について $$\displaystyle |A_i|=\binom52\,3^3=270.$$ 異なる$i,j$について、数字$i$の位置を選び、残りから数字$j$の位置を選ぶと、最後の1位置には$i,j$以外の2種類の数字のいずれかが入る。したがって $$\displaystyle |A_i\cap A_j|=\binom52\binom32\,2=60.$$ 3種類の数字がそれぞれ2回現れることは5回の試行では不可能なので、3つ以上の事象の共通部分は空である。よって包除原理から、条件を満たす結果列は $$\displaystyle \left|\bigcup\limits _{i=1}^4A_i\right|=4\cdot270-\binom42\cdot60=720$$ 通りであり、求める確率は $$\displaystyle \frac{720}{4^5}=\frac{45}{64}.$$