6東北大学 2010年 数学 第6問解答・解説

正6角形の頂点を反時計回りに $$\displaystyle V_j=\left(\cos\frac{j\pi}{3},\sin\frac{j\pi}{3}\right)\quad(j=0,1,\ldots,5)$$ とおく。特に $V_0=P=(1,0)$、$V_2=(-1/2,\sqrt3/2)$、$V_4=(-1/2,-\sqrt3/2)$ であり、$V_1=P+V_2$ である。

(1) $AP=P$ とし、$AV_2=(s,t)$ とおくと、線形性と $V_1=P+V_2$ から $AV_1=P+(s,t)=(s+1,t)$。仮定より $(s,t)$ と $(s+1,t)$ はともに正6角形の辺上にある。

$|t|<\sqrt3/2$ のとき、正6角形の高さ $t$ における水平断面は $$\displaystyle -1+\frac{|t|}{\sqrt3}\le x\le1-\frac{|t|}{\sqrt3}$$ で、その両端だけが辺上にある。この幅は $2-2|t|/\sqrt3>1$ である。一方、上の2点の $x$ 座標の差は1なので、ともに辺上の点になることはない。従って $|t|=\sqrt3/2$。このとき水平断面は辺 $-1/2\le x\le1/2$ であり、$s$ と $s+1$ がともにこの区間に入るのは $s=-1/2$ の場合だけである。よって $$AV_2=V_2\quad\text{または}\quad AV_2=V_4.$$ $P,V_2$ は一次独立なので、$AP=P$ と合わせると前者では $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$、後者では $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$。どちらも正6角形の各頂点を頂点に移す。

(2) $AP=V_k$ とする（$k=0,1,\ldots,5$）。原点を中心に $-k\pi/3$ 回転する図形の対称移動は正6角形の辺を保ち、$V_k$ を $P$ に移す。これを像の2点 $AV_2,AV_1$ に施すと、$V_1=P+V_2$ より得られる2点は $(s,t)$ と $(s+1,t)$ の形で、いずれも辺上にある。上と同じ断面の議論により、回転後の $AV_2$ は $V_2$ または $V_4$ である。したがって元の像は $$AP=V_k,\qquad AV_2=V_{k+2}\quad\text{または}\quad AV_2=V_{k+4}$$ となる（添字は6を法として読む）。$P,V_2$ は一次独立であるから、これら2点への像で $A$ は一意に定まる。座標を用いて書けば $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}\cos\frac{k\pi}{3}&-\sin\frac{k\pi}{3}\\\sin\frac{k\pi}{3}&\cos\frac{k\pi}{3}\end{pmatrix} \quad\text{または}\quad A=\begin{pmatrix}\cos\frac{k\pi}{3}&\sin\frac{k\pi}{3}\\\sin\frac{k\pi}{3}&-\cos\frac{k\pi}{3}\end{pmatrix}.$$ 前者は $V_j\mapsto V_{j+k}$、後者は $V_j\mapsto V_{k-j}$ とし、いずれも全頂点を頂点に移す。各 $k=0,1,\ldots,5$ について両方の行列が条件を満たす。