2東北大学 2010年 数学 第2問解答・解説

曲線を $f(x)=x^3-a^2x+a^3$ とおき、接点の $x$ 座標を $t$ とする。接線は $y=f'(t)(x-t)+f(t)$ であるから、これが $P(b,0)$ を通る条件は $$f(t)+f'(t)(b-t)=0\quad\text{すなわち}\quad 2t^3-3bt^2+a^2b-a^3=0.\tag{1}$$ 異なる接点が同一接線を与えることはない。接線の傾きから $t^2$、切片から $t^3$ がそれぞれ定まるので、同じ接線なら接点も等しい。したがって(1)の異なる実根の個数を数えればよい。

(1) $u=t/a$, $v=b/a$ と置く。$a,b>0$ より $v>0$ であり、(1)は $$H_v(u)=2u^3-3vu^2+v-1=0$$ となる。導関数は $H'_v(u)=6u(u-v)$ だから、$u=0$ で極大、$u=v$ で極小をとる。また $$H_v(0)=v-1,\qquad H_v(v)=-v^3+v-1<0.$$ 後者は、$0<v<1$ では $v^3-v+1=1-v+v^3>0$、$v\ge1$ では $v^3-v+1=v(v^2-1)+1>0$ による。最高次係数が正の三次関数なので、左端では $-\infty$、右端では $+\infty$ に向かう。よって異なる実根が3個となるのは極大値が正、すなわち $v>1$ のときに限る。求める領域は $$\boxed{\{(a,b):a>0,\ b>a\}}.$$

(2) ちょうど2本の接線となるのは極大値が0の $v=1$、すなわち $b=a$ の場合である。このとき $$H_1(u)=u^2(2u-3)$$ より異なる接点の $x$ 座標は $\displaystyle 0,\frac{3a}{2}$。対応する点は $$\displaystyle A=(0,a^3),\qquad B=\left(\frac{3a}{2},\frac{23a^3}{8}\right),\qquad P=(a,0).$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(-a,a^3)\cdot\left(\frac a2,\frac{23a^3}{8}\right)=\frac{a^2}{8}(23a^4-4).$$ $a>0$ なので、角が鋭角となる必要十分条件は内積が正となることであり、答えは $$\displaystyle \boxed{b=a>\left(\frac4{23}\right)^{1/4}}.$$

接線がPを通ることを接点座標の三次方程式に直す。比 $\displaystyle v=\frac{b}{a}$によってパラメータを一つにし、導関数と極値で実根数を調べた。v=1では重解を含むが異なる接点は2つ。最後は接点とPからのベクトルの内積の符号で鋭角を判定する。