I日本医科大学 2010年 数学 第I問解答・解説

内分比 $XY:YA=2:1$ より、$Y=(X+2A)/3$ である。点 $X=(s,t)$、$A=(a,-12)$ と書けば、$$\displaystyle Y=\left(\frac{s+2a}{3},\frac{t-24}{3}\right).$$ $X$ が $P:y=x^2$ 上を動くときは $t=s^2$ である。$Y=(x,y)$ と置くと $s=3x-2a$ だから、$$\displaystyle y=\frac{(3x-2a)^2-24}{3}=3x^2-4ax+\frac43a^2-8.$$ したがって、$Q$ の方程式は $\displaystyle y=3x^2-4ax+\frac43a^2-8$ である。

$P$ と $Q$ の交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると、$$\displaystyle x^2-2ax+\frac23a^2-4=0$$ の2根である。この方程式の判別式は $\displaystyle \frac43a^2+16>0$ なので、任意の実数 $a$ に対して異なる2交点がある。根と係数の関係から $x_1+x_2=2a$、$\displaystyle x_1x_2=\frac23a^2-4$。放物線上の2点を結ぶ直線の傾きは $$\displaystyle \frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=x_1+x_2$$ であり、切片は $-x_1x_2$ だから、$$\displaystyle l:y=2ax-\frac23a^2+4.$$

以下、横座標 $x$ を固定して考える。$Q$ 上の点の縦座標は $$\displaystyle q_x(a)=\frac43\left(a-\frac32x\right)^2-8$$ である。$a$ を実数全体に動かすと、この値は最小値 $-8$ から上に限りなく大きくなるので、$R$ は $y\geq-8$ である。また、$$\displaystyle l\text{ 上の縦座標}=-\frac23\left(a-\frac32x\right)^2+\frac32x^2+4$$ より、$L$ は $\displaystyle y\leq\frac32x^2+4$ である。

次に $-3\leq a\leq3$ とする。$q_x(a)$ の最小値は、頂点 $\displaystyle a=\frac32x$ が区間内にあれば $-8$、区間外なら頂点に近い端点で生じる。従って、最小値は $$\phi(x)=\begin{cases} -8&(|x|\leq2),\\ 3(|x|-2)^2-8&(|x|>2) \end{cases}$$ である。一方、係数4/3が正の二次関数 $q_x(a)$ の最大値は区間の端点で生じる。$x>0$ なら $a=-3$、$x<0$ なら $a=3$、$x=0$ ならどちらの端点でもよく、その最大値は $$U(x)=3x^2+12|x|+4$$ となる。$q_x(a)$ は $-3\le a\le3$ で連続なので、中間値の定理により、その値域は $\phi(x)\le q_x(a)\le U(x)$ の範囲全体である。さらに、$$\displaystyle U(x)-\left(\frac32x^2+4\right)=\frac32x^2+12|x|\geq0.$$ したがって、全ての $x$ で $R'$ の上端は $L$ の境界以上にあり、$M=R'\cap L$ の縦断面は、$\displaystyle \phi(x)\leq\frac32x^2+4$ のときちょうど $$\displaystyle \phi(x)\leq y\leq\frac32x^2+4$$ となる。

$|x|\leq2$ では $\displaystyle \phi(x)=-8\leq\frac32x^2+4$ である。$r=|x|>2$ とすると $$\displaystyle \phi(x)-\left(\frac32x^2+4\right)=\frac32r(r-8),$$ だから、縦断面が存在する条件は $r\leq8$ である。よって $u$ の範囲は $-8\leq u\leq8$。

この範囲で $\phi(x)\geq-8$、$\displaystyle \frac32x^2+4\leq100$ なので $-8\leq v\leq100$。この範囲の値が全て実際に現れることも確認できる。$u=0$ の縦断面は $-8\leq v\leq4$ である。また、$4\leq v\leq100$ なら $\displaystyle u=\sqrt{\frac23(v-4)}$ と選べば $0\leq u\leq8$ かつ $\displaystyle \frac32u^2+4=v$ となり、その点は上で示した縦断面条件を満たす。従って $v$ の範囲は $-8\leq v\leq100$ である。

面積は対称性を用い、下端 $\phi(x)$ と上端 $\displaystyle \frac32x^2+4$ の差を積分して $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Area}(M) &=2\left[\int_0^2\left(\frac32x^2+12\right)\,dx +\int_2^8\left(-\frac32x^2+12x\right)\,dx\right]\\ &=2(28+108)=272. \end{aligned}$$