II日本医科大学 2010年 数学 第II問解答・解説

$$\displaystyle \text{問1}\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\text{ が平面の方程式である。}\boldsymbol n=(a^{-1},b^{-1},c^{-1})\text{ とおくと }\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{AB}=\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{AC}=0\text{ なので法線である。原点からの垂線の足を }H=t\boldsymbol n\text{ とすれば }t|\boldsymbol n|^2=1\text{。したがって }d=|H|=\frac{1}{|\boldsymbol n|}=\frac{1}{\sqrt{a^{-2}+b^{-2}+c^{-2}}}.\quad \text{問2}\quad m^2=a^2+b^2+c^2\text{ より }F=\left(\frac{m}{d}\right)^2=(a^2+b^2+c^2)(a^{-2}+b^{-2}+c^{-2})=9+\left(\frac ab-\frac ba\right)^2+\left(\frac ac-\frac ca\right)^2+\left(\frac bc-\frac cb\right)^2\ge9.\text{ 等号は正の }a=b=c\text{ に限る。ゆえに最小値は }9.\quad \text{問3}\quad F\text{ は対称で尺度によらない。}a\le b\le c\text{ として }(a,b,c)\propto(1,u,v)\text{ とおく。各数が他の数の2倍をこえない条件は }1\le u\le v\le2.\text{ そこで }U=u^2,\ V=v^2\text{ とおくと }1\le U\le V\le4,\quad F(U,V)=(1+U+V)(1+U^{-1}+V^{-1}).\text{ 展開すると }F(1,V)-F(U,V)=\frac{(V+1)(U-1)(V-U)}{UV}\ge0.\text{ また }F(1,V)=5+2(V+V^{-1})\le5+2(4+1/4)=\frac{27}{2}\text{。実際 }(4+1/4)-(V+V^{-1})=\frac{(4-V)(V-1/4)}{V}\ge0.\text{ 最後の等号は }V=4\text{ のときだけであり、最初の等号は }U=1\text{ または }U=V\text{ のときである。従って最大値は }\frac{27}{2}\text{、その比は }a:b:c=1:1:2\text{ または }1:2:2.$$