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日本医科大学／2010年度／1/31

日本医科大学 2010年 数学 第III問解答・解説

極限場合の数と確率数列統計的な推測

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1問題

日本医科大学2010年度第III問

rr は 0<r<10<r<1 なる実数、nn は正の整数とし、k=1,2,3,…,nk=1,2,3,\ldots,n に対し、 ak=(1−r)rk−1,pk=34rk−1\displaystyle a_{k}=(1-r)r^{k-1},\qquad p_{k}=\frac{3}{4}r^{k-1} とおく。nn 枚のコイン C1,C2,C3,…,CnC_{1},C_{2},C_{3},\ldots,C_{n} があり、これらを無作為に投げると、kk 番目のコイン CkC_{k} は確率 pkp_{k} で表が出て、確率 1−pk1-p_{k} で裏が出るように作られており、各コインの表裏は互いに独立に定まるものとする。これらのコインを投げて、各 k=1,2,3,…,nk=1,2,3,\ldots,n に対し、CkC_{k} の表が出たら uk=aku_{k}=a_{k} とし、裏が出たら uk=−aku_{k}=-a_{k} として、uk (k=1,2,3,…,n)u_{k}\ (k=1,2,3,\ldots,n) の総和を XnX_{n} とする。また、uk (k=1,2,3,…,n)u_{k}\ (k=1,2,3,\ldots,n) のうち正であるものの和を YnY_{n}、負であるものの和を Yn′Y'_{n} とする。 　 問1 uku_{k} の期待値 E(uk)E(u_{k}) を考えることにより、XnX_{n} の期待値 E(Xn)E(X_{n}) の極限 x=lim⁡n→∞E(Xn)\displaystyle x=\lim\limits _{n\to\infty}E(X_{n}) を rr を用いて表せ。 　 問2 Yn±Yn′Y_{n}\pm Y'_{n} を考えることにより、YnY_{n} の期待値 E(Yn)E(Y_{n}) の極限 y=lim⁡n→∞E(Yn)\displaystyle y=\lim\limits _{n\to\infty}E(Y_{n}) を rr を用いて表せ。 　 問3 x=0x=0 となるように rr をとるとき、XnYnX_{n}Y_{n} の期待値 E(XnYn)E(X_{n}Y_{n}) の極限 z=lim⁡n→∞E(XnYn)\displaystyle z=\lim\limits _{n\to\infty}E(X_{n}Y_{n}) を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

表なら uk=aku_k=a_k、裏なら uk=−aku_k=-a_k なので、E(uk)=ak(2pk−1)=(1−r)rk−1(32rk−1−1)\displaystyle E(u_k)=a_k(2p_k-1)=(1-r)r^{k-1}\left(\frac32r^{k-1}-1\right)。よって等比数列の和から E(Xn)=(1−r)[321−r2n1−r2−1−rn1−r]⟶1−2r2(1+r).\displaystyle E(X_n)=(1-r)\left[\frac32\frac{1-r^{2n}}{1-r^2}-\frac{1-r^n}{1-r}\right]\longrightarrow\frac{1-2r}{2(1+r)}. Yn+Yn′=XnY_n+Y_n\prime=X_n、また Yn−Yn′=∑k=1nak=1−rn\displaystyle Y_n-Y_n\prime=\sum\limits _{k=1}^na_k=1-r^n であるから、2E(Yn)=E(Xn)+1−rn2E(Y_n)=E(X_n)+1-r^n。従って y=12(1−2r2(1+r)+1)=34(1+r).\displaystyle y=\frac12\left(\frac{1-2r}{2(1+r)}+1\right)=\frac3{4(1+r)}. x=0x=0 より r=1/2r=1/2。An=∑ak=1−rn\displaystyle A_n=\sum a_k=1-r^n とおくと Yn=(Xn+An)/2Y_n=(X_n+A_n)/2 だから、 E(XnYn)=12{E(Xn2)+AnE(Xn)}.\displaystyle E(X_nY_n)=\frac12\{E(X_n^2)+A_nE(X_n)\}. このとき E(Xn)→0E(X_n)\to0、An→1A_n\to1 であり、独立性から Var⁡(Xn)=∑k=1n4ak2pk(1−pk).\displaystyle \operatorname{Var}(X_n)=\sum\limits _{k=1}^n4a_k^2p_k(1-p_k). j=k−1j=k-1 とすると 4ak2pk(1−pk)=34(18)j−916(116)j\displaystyle 4a_k^2p_k(1-p_k)=\frac34\left(\frac18\right)^j-\frac9{16}\left(\frac1{16}\right)^j なので、 lim⁡Var⁡(Xn)=3/41−1/8−9/161−1/16=67−35=935.\displaystyle \lim\operatorname{Var}(X_n)=\frac{3/4}{1-1/8}-\frac{9/16}{1-1/16}=\frac67-\frac35=\frac9{35}. また E(Xn2)=Var⁡(Xn)+E(Xn)2→9/35E(X_n^2)=\operatorname{Var}(X_n)+E(X_n)^2\to9/35。ゆえに z=12⋅935=970.\displaystyle z=\frac12\cdot\frac9{35}=\frac9{70}.

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