4福井大学 2016年 数学 第4問解答・解説

表が出た回数から裏が出た回数を引いた値を $S_k$ とする。差の絶対値2に初めて達するのは偶数回である。終了前の偶数時刻では $S_{2j}=0$（偶数かつ絶対値が2未満）なので、そこから次の2投を一組として考える。組の中で表裏または裏表なら差は0に戻り、その確率は $$s=2r(1-r).$$ 同じ面が2回なら初めて差が $\pm2$ となり、その確率は $$c=r^2+(1-r)^2=1-s.$$ 従って、$n-1$ 組が終了せず最後の1組で止まる確率は $$p_n=cs^{n-1}.$$

(2) $0\le s\le 1/2$ なので、まず有限和について恒等式 $$\displaystyle (1-s)\sum\limits _{n=1}^N n s^{n-1}=\frac{1-s^N}{1-s}-Ns^N$$ を得る。右辺の極限をとる。$s^N\to0$ であり、$Ns^N\to0$ も成り立つ。実際、$0<s\le1/2$ なら $n\ge2$ について $$\displaystyle \frac{(n+1)s^{n+1}}{ns^n}=\frac{n+1}{n}s\le\frac{n+1}{2n}\le\frac34$$ だから、数列 $ns^n$ は以後比が $3/4$ 以下で0に収束する。$s=0$ の場合はすべての $n\ge1$ で $ns^n=0$ となる。よって $$\displaystyle (1-s)\sum\limits _{n=1}^{\infty}n s^{n-1}=\frac1{1-s},\qquad \sum\limits _{n=1}^{\infty}np_n=\frac{c}{(1-s)^2}=\frac1c=\boxed{\frac1{r^2+(1-r)^2}}.$$

(3) $r=1/4$ では $s=3/8,\ c=5/8$ で $$\displaystyle q_n=\sum\limits _{k=1}^n p_k=1-\left(\frac38\right)^n.$$ 与えられた常用対数から $$\displaystyle \log_{10}\frac38=0.4771-3\times0.3010=-0.4259.$$ $$\displaystyle \log_{10}\left(\frac38\right)^7=-2.9813>-3$$ なので $(3/8)^7>0.001$、従って $q_7<0.999$。一方 $$\displaystyle \log_{10}\left(\frac38\right)^8=-3.4072<-3$$ なので $(3/8)^8<0.001$、従って $q_8>0.999$。$q_n$ は増加するから、求める最小の $n$ は $$\boxed{8}.$$

表が出た回数から裏が出た回数を引いた値を$S_k$とする。差の絶対値2に初めて達するのは偶数回である。終了前の偶数時刻では$S_{2j}=0$（偶数かつ絶対値が2未満）なので、そこから次の2投を一組として考える。組の中で表裏または裏表なら差は0に戻り、その確率はs=2r(1−r)。同じ面が2回なら初めて差が±2となり、その確率はc=r²+(1−r)²=1−s。従って、n−1組が終了せず最後の1組で止まる確率はp_n=cs^{n−1}。

(2) 0≦s≦1/2なので、まず有限和について恒等式 (1−s)Σ_{n=1}^N n s^{n−1}=(1−s^N)/(1−s)−Ns^N を得る。右辺の極限をとる。s^N→0であり、Ns^N→0も成り立つ。実際、0<s≦1/2ならn≧2について ((n+1)s^{n+1})/(n s^n)=((n+1)/n)s≦(n+1)/(2n)≦3/4 だから、数列$ns^n$は以後比が3/4以下で0に収束する。s=0の場合はすべてのn≧1で$ns^n=0$となる。ゆえに、(1−s)Σ_{n=1}^∞ n s^{n−1}=1/(1−s)、従ってΣnp_n=c/(1−s)^2=1/c=1/[r²+(1−r)²]。

(3) r=1/4ではs=3/8,c=5/8で、q_n=Σ_{k=1}^n p_k=1−(3/8)^n。与えられた常用対数からlog10(3/8)=0.4771−3×0.3010=−0.4259。n=7ならlog10((3/8)^7)=−2.9813>−3なので$(3/8)^7>0.001$、従って$q_7<0.999$。n=8ならlog10((3/8)^8)=−3.4072<−3なので$(3/8)^8<0.001$、従って$q_8>0.999$。$q_n$は増加するから最小のnは8である。