1福井大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) $F=e^a+e^{-a}$、$G=e^a-e^{-a}$とおく。法線の方程式は、$G=0$の場合も含めて $$\ell:\ x-a+G(y-F)=0,\qquad m:\ x-a+F(y-G)=0.$$ 両式を引くと$(G-F)y=0$であり、$G-F=-2e^{-a}\ne0$より$y=0$。従って $$\boxed{R=(a+e^{2a}-e^{-2a},0)}.$$ (2) $P,Q$の$x$座標が同じなので水平距離の項が相殺され $$PR^2-QR^2=F^2-G^2=\boxed4.$$ (3) $h(x)-g(x)$の導関数は$xg(x)$である。これは$x\ne0$で正で、$h(0)-g(0)=0$なので両曲線の交点は原点だけである。$0<x\le1$では$h(x)>g(x)>0$。よって回転体の断面は外半径$h(x)$、内半径$g(x)$の円環である。 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac V\pi&=\int_0^1\{x^2(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2\}\,dx\\ &=\int_0^1\{(x^2-1)(e^{2x}+e^{-2x})+2x^2+2\}\,dx\\ &=\left[e^{2x}\left(\frac{x^2}2-\frac x2-\frac14\right) +e^{-2x}\left(-\frac{x^2}2-\frac x2+\frac14\right)+\frac{2x^3}3+2x\right]_0^1\\ &=\frac83-\frac{e^2}4-\frac3{4e^2}. \end{aligned}$$ 従って$\boxed{V=\pi(8/3-e^2/4-3/(4e^2))}$。