III鳥取大学 2011年 数学 第III問解答・解説

(1) 部分積分により、$$\displaystyle \int\log x\,dx=x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx=x\log x-x+C\quad(x>0).$$ (2) 接点の $x$ 座標を $a$ ($a>0$) とすると、$y=\log x$ の導関数は $1/x$ であるから、接線は $$\displaystyle y=\log a+\frac{1}{a}(x-a)$$ である。これが原点を通る条件は $\log a-1=0$ であり、$a=\mathrm{e}$。したがって接点は $(\mathrm{e},1)$、接線は $l:y=x/\mathrm{e}$ である。

(3) $\phi(x)=x/\mathrm{e}-\log x$ とおくと、$\phi'(x)=1/\mathrm{e}-1/x$ は $0<x<\mathrm{e}$ で負、$x>\mathrm{e}$ で正であり、$\phi(\mathrm{e})=0$ である。よって $0<x<\mathrm{e}$ では直線 $l$ が曲線 $C$ より上にある。また、曲線が $x$ 軸と交わるのは $x=1$、直線 $l$ が $x$ 軸と交わるのは $x=0$ である。したがって、求める面積は $$\displaystyle S=\int_0^1\frac{x}{\mathrm{e}}\,dx+\int_1^{\mathrm{e}}\left(\frac{x}{\mathrm{e}}-\log x\right)dx=\frac{1}{2\mathrm{e}}+\left[\frac{x^2}{2\mathrm{e}}-x\log x+x\right]_1^{\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{e}}{2}-1.$$ (4) $0\le x\le1$ では回転断面は半径 $x/\mathrm{e}$ の円板、$1\le x\le\mathrm{e}$ では外半径 $x/\mathrm{e}$、内半径 $\log x$ の円環である。よって体積は $$\displaystyle V=\pi\int_0^1\left(\frac{x}{\mathrm{e}}\right)^2dx+\pi\int_1^{\mathrm{e}}\left\{\left(\frac{x}{\mathrm{e}}\right)^2-(\log x)^2\right\}dx.$$ 部分積分と (1) より $$\displaystyle \int(\log x)^2dx=x(\log x)^2-2\int\log x\,dx=x\{(\log x)^2-2\log x+2\}+C,$$ したがって $\displaystyle \int_1^{\mathrm{e}}(\log x)^2dx=\mathrm{e}-2$ である。また $\displaystyle \int_0^1(x/\mathrm{e})^2dx+\int_1^{\mathrm{e}}(x/\mathrm{e})^2dx=\mathrm{e}/3$。ゆえに $$\displaystyle V=\pi\left\{\frac{\mathrm{e}}{3}-(\mathrm{e}-2)\right\}=\frac{2\pi(3-\mathrm{e})}{3}.$$