鳥取大学 2011年数学第I問解答・解説

二次関数図形と方程式

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1問題

鳥取大学2011年度第I問

$xy$ 平面上の円 $C_1: x^2+y^2+ax+by+28=0$ は、点 $A(2,8)$ と点 $B(7,7)$ を通る。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 円 $C_1$ の中心の座標と半径を求めよ。

(2) 円 $C_1$ 上の点 $A,B$ における接線をそれぞれ $l,m$ とするとき、2直線 $l,m$ の交点の座標を求めよ。

(3) $x$ の2次関数のグラフ $C_2$ は (2) で求めた交点を頂点とし、点 $A$ を通る。このとき $C_2$ と $x$ 軸との交点の座標を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 中心 $\left(4,5\right)$ 、半径 $\sqrt{13}$ 。(2) 接線の交点 $\left(5,10\right)$ 。(3) x軸との交点 $\left(5-3\sqrt5,0\right)$ 、 $\left(5+3\sqrt5,0\right)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

円の式に $A,B$ を代入すると $a+4b=-48,\ a+b=-18$ となるから、 $a=-8,b=-10$ 。よって $(x-4)^2+(y-5)^2=13$ であり、中心は $(4,5)$ 、半径は $\sqrt{13}$ 。半径 $CA=(-2,3)$ 、 $CB=(3,2)$ を法線ベクトルとするので、接線は $-2(x-2)+3(y-8)=0,\qquad 3(x-7)+2(y-7)=0。$ 連立して交点は $(5,10)$ 。頂点が $(5,10)$ の二次関数を $y=c(x-5)^2+10$ とおく。 $A$ を通る条件から $c=-2/9$ 。 $y=0$ とすると $(x-5)^2=45$ だから、 $x=5\pm3\sqrt5$ 。

円の式にA,Bを代入して係数を決め、平方完成して中心と半径を得る。各接点への半径は接線の法線なので、その2直線を連立する。最後に頂点形式で二次関数を表し、Aを通る条件で係数を定めてx切片を解く。

この問題で使う考え方

円の標準形への平方完成
接線の法線ベクトル表示
二次関数の頂点形式

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