1富山大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) $u=|x|\ge0$ とおくと $$\displaystyle x^2+k-|x|=u^2-u+k=\left(u-\frac12\right)^2+k-\frac14.$$ 右辺がすべての $u\ge0$ で厳密に正となるための必要十分条件は $$\displaystyle \boxed{k>\frac14}.$$

(2)(a) $C_1$ 上の点は $P_1=(s,s^2+k)$。直線 $y=x$ に関する反射では座標が入れ替わるので、$C_2$ は $x=y^2+k$ と表せる。したがって $P_2=(t^2+k,t)$ である。(1)より $$(s^2+k)(t^2+k)>|st|\ge st,$$ ゆえに $st-(s^2+k)(t^2+k)<0$ であり、問題文の面積公式より面積は $$\displaystyle \boxed{A=\frac{(s^2+k)(t^2+k)-st}{2}}.$$

(2)(b) $C=t^2+k>0$ とおく。平方完成すると $$\displaystyle A=\frac C2\left(s-\frac{t}{2C}\right)^2+\frac{kC}{2}-\frac{t^2}{8C}.$$ よって固定した $t$ で最小となるのは $s=t/(2C)$ のときであり、 $$\displaystyle \boxed{B(t)=\frac{k(t^2+k)}2-\frac{t^2}{8(t^2+k)}}.$$

(2)(c) $v=t^2+k\ge k>1/4$ とおくと $$\displaystyle B=\frac{k}{2}\left(v+\frac{1}{4v}\right)-\frac18, \qquad v+\frac{1}{4v}=1+\frac{(2v-1)^2}{4v}.$$ $1/4<k<1/2$ なら $v=1/2$ を選べるため、最小値は $k/2-1/8$（$t^2=1/2-k$）である。 一方、$k\ge1/2$ では $v\ge k\ge1/2$ であり、 $$\displaystyle v+\frac1{4v}-\left(k+\frac1{4k}\right) =(v-k)\left(1-\frac1{4vk}\right)\ge0,$$ なぜなら $vk\ge k^2\ge1/4$ だからである。したがって $v=k$（$t=0$）で最小となり、値は $k^2/2$。$t$ が実数全体を動くときの最小値について、結論は $$\displaystyle \boxed{\min B(t)= \begin{cases} \dfrac{k}{2}-\dfrac18,&\dfrac14<k<\dfrac12,\\[2pt] \dfrac{k^2}{2},&k\ge\dfrac12. \end{cases}}$$