2富山大学 2011年 数学 第2問解答・解説

$\displaystyle C=\displaystyle\int_0^1u(t)\,dt,\quad D=\displaystyle\int_0^1t u(t)\,dt$ とおくと、与式はすべての実数 $x$ について $$u(x)=x^2+pC+pDx$$ となる。右辺は $x$ の2次式で、$x^2$ の係数は1だから、解が存在すれば $u(x)$ は2次関数である。これで (1) が示された。

(2) では、この形を $C,D$ の定義に代入する。 $$\displaystyle \begin{aligned} C&=\int_0^1(t^2+pC+pDt)\,dt=\frac13+pC+\frac p2D,\\ D&=\int_0^1t(t^2+pC+pDt)\,dt=\frac14+\frac p2C+\frac p3D. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle (1-p)C-\frac p2D=\frac13,\qquad -\frac p2C+\left(1-\frac p3\right)D=\frac14.$$ ここで $Q=p^2-16p+12$ とする。第1式に $1-p/3$ を掛け、第2式に $p/2$ を掛けて加えると、また第1式に $p/2$、第2式に $1-p$ を掛けて加えると、次を得る。 $$\displaystyle \frac Q{12}C=\frac{p+24}{72},\qquad \frac Q{12}D=\frac{3-p}{12}.$$ $Q=0$ ならば、これらは同時に $p=-24$ と $p=3$ を要求するので矛盾し、解は存在しない。

一方、$Q\ne0$ ならば $$\displaystyle C=\frac{p+24}{6Q},\qquad D=\frac{3-p}{Q}$$ と定めると、元の2式に代入して $$\displaystyle (1-p)C-\frac p2D=\frac{(1-p)(p+24)-3p(3-p)}{6Q}=\frac13, \qquad -\frac p2C+\left(1-\frac p3\right)D=\frac{-p(p+24)+4(3-p)^2}{12Q}=\frac14$$ となる。そこで $u(x)=x^2+pC+pDx$ とおけば、定義式から $\displaystyle \int_0^1u(t)\,dt=C$、$\displaystyle \int_0^1tu(t)\,dt=D$ となるため、これは元の式を満たす解である。ゆえに解が存在しないのは $Q=0$ の場合に限る。 $$p^2-16p+12=0\quad\text{すなわち}\quad p=8\pm2\sqrt{13}.$$ したがって (2) の答えは $p=8-2\sqrt{13},\ 8+2\sqrt{13}$ である。