1日本大学 2015年 数学 第1問解答・解説

日本大学 2015年度 数学 Q1

(1) 根号を含む式の整理

$$\displaystyle \frac{12}{2+\sqrt3+\sqrt7}$$ の分母を有理化する。$s=\sqrt3+\sqrt7$ とおくと $s^2=10+2\sqrt{21}$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{12}{2+s} &=\frac{12(2-s)}{4-s^2} =\frac{6(s-2)}{3+\sqrt{21}}\\ &=-\frac12(s-2)(3-\sqrt{21})\\ &=\frac12(\sqrt3+\sqrt7-2)(\sqrt{21}-3). \end{aligned}$$ 展開すると $$(\sqrt3+\sqrt7)\sqrt{21}=3\sqrt7+7\sqrt3$$ であり、$\sqrt7$ の項は相殺される。よって $$\displaystyle \boxed{\frac{12}{2+\sqrt3+\sqrt7}=2\sqrt3+3-\sqrt{21}}.$$

(2) 外接円の半径

余弦定理で辺 $AC$ を求める。 $$\begin{aligned} AC^2 &=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos60^\circ\\ &=4+(1+\sqrt2)^2-2(1+\sqrt2)=5. \end{aligned}$$ よって $AC=\sqrt5$。正弦定理 $AC=2R\sin\angle B$ より $$\displaystyle \sqrt5=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \boxed{R=\frac{\sqrt{15}}3}.$$

(3) 2つの解がともに $(-1,0)$ にある条件

$$q(x)=x^2+mx-2m+4$$ とおく。異なる実数解を $\alpha,\beta$ とすると、両方が $(-1,0)$ にあるための必要条件は、解の和と判別式から $$0<m<2,\qquad \Delta=m^2+8m-16>0.$$ また $$q(-1)=5-3m=(1+\alpha)(1+\beta)>0$$ であるから $m<5/3$。$m>0$ の下で $\Delta>0$ は $$m> -4+4\sqrt2$$ と同値である。したがって必要条件は $$\displaystyle -4+4\sqrt2<m<\frac53.$$

逆にこの範囲なら $m<5/3<2$ なので頂点の $x$ 座標 $-m/2$ は $(-1,0)$ にある。また $q(-1)=5-3m>0,\ q(0)=4-2m>0$、一方、$\Delta>0$ より頂点で $q(-m/2)=-\Delta/4<0$。よって $(-1,-m/2)$ と $(-m/2,0)$ にそれぞれ1つずつ解があり、2解は異なり、ともに $(-1,0)$ に属する。従って $$\displaystyle \boxed{-4+4\sqrt2<m<\frac53}.$$

(4) 積分値の最大

$$\displaystyle \begin{aligned} I(a) &=\int_0^1(ax^2+x-a^2)\,dx =\frac a3+\frac12-a^2\\ &=-\left(a-\frac16\right)^2+\frac{19}{36}. \end{aligned}$$ 平方項が0となる $a=1/6$ で最大となり、 $$\displaystyle \boxed{a=\frac16,\qquad I_{\max}=\frac{19}{36}}.$$

**使用解法:** 共役な式による有理化、余弦定理と正弦定理、二次関数の解の配置・判別式・端点値の必要十分性、積分計算と平方完成。

**issues:** なし。