3大阪大学 2011年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(0)=1$ から $p^2+q=1$。接点の $x$ 座標を $x_0$ とすると、$f(x_0)=x_0$ かつ $f'(x_0)=1$。差を取れば $$f(x)-x=x^2-(2p+1)x+1$$ なので接する条件は判別式 $(2p+1)^2-4=0$。よって $\displaystyle p=\frac12$ または $\displaystyle p=-\frac32$。重解は $\displaystyle x_0=p+\frac12$ であり、$x_0>0$ を満たすのは $\displaystyle p=\frac12$ の場合だけ。従って $\displaystyle q=1-p^2=\frac34$、接点は $(1,1)$。

(2) $g(x)=f_1(x)-f_2(x)$ とおくと、$x^2$ の項が消えるので $g$ は一次以下の関数である。区間内では端点値の線形補間 $$\displaystyle g(x)=\frac{\beta-x}{\beta-\alpha}g(\alpha)+\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}g(\beta)$$ と書ける。係数は非負で和が1、両端の $g$ は負なので $g(x)<0$。従って $f_1(x)<f_2(x)$ が区間全体で成り立つ。

(3) $A=f(0)=p^2+q$, $B=f(1)=(1-p)^2+q$ とおく。$B-A=1-2p$ なので、任意の $A,B$ に対し適当な $p,q$ が定まり、二次関数を $$f(x)=(1-x)A+xB-x(1-x)\qquad(0\le x\le1)$$ と表せる。折れ線 $L$ の縦の部分は $x=0,1$ に $0\le y\le1$、斜めの部分は $y=x$。

共有点をもたないためには、$A,B$ はそれぞれ0より小さいか1より大きい必要がある。$A,B$ の符号型が混合（片方が負、他方が1より大）なら、$f(x)-x$ は両端で異符号となり、途中で0になるので斜線と交わる。$A<0,B<0$ なら上の式より $f(x)<0$ で、R内に点を通らない。従ってR内を通る許容放物線は $A>1,B>1$ の場合に限る。この場合 $r=A-1>0,s=B-1>0$ とすると $$f(x)-x=(1-x)^2+(1-x)r+xs>0\quad(0\le x\le1),$$ よって実際に $L$ と交わらない。

従ってその放物線が通るR内の点は必ず $y=f(x)>1-x(1-x)$。逆に $0\le x\le1$ で $1-x(1-x)<y\le2$ なら、$A=B=y+x(1-x)>1$ と選べば $\displaystyle p=\frac12$, $\displaystyle q=A-\frac14$ の許容放物線がその点を通る。よって、Tは長方形Rの中で $y>1-x(1-x)$ を満たす点全体であり、Sは $$0\le x\le1,\qquad 0\le y\le1-x+x^2$$ をともに満たす点全体である。 すなわち $S$ は $x=0,1$ で高さ1、中央 $\displaystyle x=\frac12$ で高さ $\displaystyle \frac34$ となる放物線 $y=x^2-x+1$ の下側、x軸の上側の領域である。面積は $$\displaystyle \int_0^1(1-x+x^2)\,dx=1-\frac12+\frac13=\boxed{\frac56}.$$

(1) $f(0)=1$ から $p^2+q=1$。$f(x)-x=x^2-(2p+1)x+1$の判別式 $0$ より $\displaystyle p=\frac12$ または $\displaystyle p=-\frac32$。接点 $\displaystyle x=p+\frac12>0$ なので $\displaystyle p=\frac12,\ q=\frac34$、接点 $(1,1)$。 (2) $f_1-f_2$ は一次以下。端点値の線形補間は両方負なので全区間で負。 (3) $A=f(0),\ B=f(1)$とすると$f(x)=(1-x)A+xB-x(1-x)$。許容かつR内を通るのは$A,B>1$。これで通過点集合Tは、長方形Rの中で$y>1-x(1-x)$を満たす点全体となる。したがってSは$0\leq y\leq x^2-x+1,\ 0\leq x\leq1$の領域、面積5/6。

図示すると、Sは長方形R内で放物線 $y=x^2-x+1$ の下側、x軸の上側の領域である。添付図版に$(0,1),\ (1,1)$、頂点 $\displaystyle (\frac12,\frac34)$を示す。