2山形大学 2016年 数学 第2問解答・解説

【用語の解釈】原文の「自然数 n」は n=1,2,… と解釈します。0を含める定義では小問(3)に n=0 が加わるため、以下の結果はこの正の自然数の解釈に基づきます。

(1) $y=-x^2+nx$ の導関数は $-2x+n$ だから、$x=1$ における接線の傾きは $a=n-2$。$0\le a\le3$ より $2\le n\le5$。$n$ は自然数なので $n=2,3,4,5$。

(2) $\displaystyle y=-x^2+nx=-(x-\frac n2)^2+\frac{n^2}{4}$ より最大値は $M=n^2/4$。$1\le M\le5$ は $4\le n^2\le20$ と同値であり、自然数 $n$ は $2,3,4$。

(3) 放物線と直線の交点は $-x^2+nx=-x$ より $x=0,n+1$。その間では放物線と直線の差が $x(n+1-x)\ge0$ なので、$\displaystyle S=\int_0^{n+1}x(n+1-x)\,dx=(n+1)^3/6$。$S\le36$ より $(n+1)^3\le216$、したがって $n\le5$。自然数条件から $n=1,2,3,4,5$。

(4) $n\ge7$ なので、$x=6$ から右側の放物線は $x=n$ まで $x$ 軸の上にある。よって $\displaystyle T=\int_6^n(-x^2+nx)\,dx=\frac{n^3}{6}-18n+72$。$T\le72$ は $\displaystyle \frac n6(n^2-108)\le0$ と同値。$n>0$ より $n^2\le108$、すなわち $n\le6\sqrt3$。これと $n\ge7$ を満たす自然数は $7,8,9,10$。