6山形大学 2016年 数学 第6問解答・解説

$\displaystyle \alpha=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ から $$\displaystyle |\alpha|=1,\qquad 1+\alpha=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=:p,\qquad p^2=\alpha,\qquad 1+\overline\alpha=-\alpha=\overline p.$$

(1) 条件式は $p\beta-\alpha=0$ だから、$p\ne0$ と $p^2=\alpha$ より $$\displaystyle \beta=\frac{\alpha}{p}=p=1+\alpha=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i.$$

(2) $w=pz+\overline p$ である。複素平面で $OW\perp OZ$ となる条件は $\operatorname{Re}(w\overline z)=0$ なので $$\displaystyle 0=\operatorname{Re}(pz\overline z+\overline p\,\overline z) =\frac12|z|^2+\operatorname{Re}(pz).$$ 一方 $\overline p=-\alpha$、$|p|=1$ より $$|z-\alpha|^2=|z+\overline p|^2=|z|^2+1+2\operatorname{Re}(pz)=1.$$ 従って $|z-\alpha|=1$。

(3) $OA=|\alpha|=1$ かつ (2) より $AZ=|z-\alpha|=1$。等しい2辺が直角をなす必要があるため、直角は頂点 $A$ にある（頂点 $O$ または $Z$ が直角なら、長さ1の等しい辺の一方が斜辺となり不可能）。従って $\overrightarrow{AO}=-\alpha$ と $\overrightarrow{AZ}=z-\alpha$ は垂直で、両者の長さは1。よって $z-\alpha=\pm i\alpha$ となり $$z=(1+i)\alpha\quad\text{または}\quad z=(1-i)\alpha.$$