10自治医科大学 2016年 数学 第10問解答・解説

解答

$z=x+yi$ とおくと、$x^2+y^2=1$ であり、$-1\leq x\leq1$ である。また $2z-1\neq0$ である。実際、$2z=1$ なら $|z|=1/2$ となり、条件に反する。 $$\displaystyle |w|^2=\frac{|6z-1|^2}{|2z-1|^2}=\frac{37-12x}{5-4x}=:R(x).$$ ここで $5-4x\geq1>0$ である。 $$\displaystyle R(x)-\frac{49}{9}=\frac{88(x+1)}{9(5-4x)}\geq0, \qquad 25-R(x)=\frac{88(1-x)}{5-4x}\geq0.$$ したがって $49/9\leq |w|^2\leq25$。$x=-1$ は $z=-1$ のとき、$x=1$ は $z=1$ のとき実現するので、$m=7/3, M=5$ である。よって $$\displaystyle 3(M-m)=3\left(5-\frac73\right)=8.$$ 選択肢はラである。