22自治医科大学 2016年 数学 第22問解答・解説

等式はすべての $x$ で成り立つので、係数を比較する。 $$f(x)+3g(x)=(a+3p)x^3+(b+3q)x^2+(c+3r)x+(d+3s)=-x^2$$ より $$a+3p=0,\quad b+3q=-1,\quad c+3r=0,\quad d+3s=0.$$ また、 $$f'(x)+g'(x)=(3a+3p)x^2+(2b+2q)x+(c+r)=2x^2-4$$ から $$3a+3p=2,\quad b+q=0,\quad c+r=-4.$$ まず $a+3p=0$ より $\displaystyle p=-\frac a3$。これを $3a+3p=2$ に代入すると $$\displaystyle 3a-a=2\quad\text{より}\quad a=1,\qquad p=-\frac13.$$ 次に $b+q=0$ より $b=-q$ なので、$b+3q=-1$ から $$\displaystyle 2q=-1\quad\text{より}\quad q=-\frac12,\qquad b=\frac12.$$ 残りの条件と $g(0)=s=1$ からも $c=-6,r=2,d=-3,s=1$ となり、与えられた等式と整合する。したがって $$\displaystyle |2aq|=\left|2\cdot1\cdot\left(-\frac12\right)\right|=1.$$ 共通選択肢では1はカなので、答えは $\boxed{\text{カ}}$ である。