19自治医科大学 2016年 数学 第19問解答・解説

28回のうち5の目が出る回数が $r$ 回となるのは、28回のうちその $r$ 回を選ぶ方法が $\displaystyle \binom{28}{r}$ 通りあり、各並びの確率が $\displaystyle \left(\frac16\right)^r\left(\frac56\right)^{28-r}$ だから、 $$\displaystyle P(r)=\binom{28}{r}\left(\frac16\right)^r\left(\frac56\right)^{28-r}.$$ $0\leq r\leq27$ について隣り合う項の比を取ると $$\displaystyle \frac{P(r+1)}{P(r)} =\frac{28-r}{r+1}\cdot\frac{1}{5} =\frac{28-r}{5(r+1)}.$$ この比は $r$ が大きくなるほど小さくなる。また $$\displaystyle \frac{P(4)}{P(3)}=\frac{25}{20}>1, \qquad \frac{P(5)}{P(4)}=\frac{24}{25}<1.$$ したがって $P(r)$ は $r=4$ までは増加し、その後は減少する。よって最大となるのは $r=4$ である。共通選択肢では4はナなので、答えは $\boxed{\text{ナ}}$ である。