25自治医科大学 2016年 数学 第25問解答・解説

$$\displaystyle I=\int_0^1x^2\sqrt{1-x^2}\,dx$$ とおき、$x=\sin\theta$ と置換する。$0\leq x\leq1$ に対応する範囲は $\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac\pi2$ であり、$dx=\cos\theta\,d\theta$、$\sqrt{1-x^2}=\cos\theta$ となる。この区間では $\cos\theta\geq0$ であるから、 $$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta =\frac18\int_0^{\pi/2}(1-\cos4\theta)\,d\theta =\frac18\left[\theta-\frac14\sin4\theta\right]_0^{\pi/2} =\frac\pi{16}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{16}{\pi}I=1.$$ 共通選択肢では1はカなので、答えは $\boxed{\text{カ}}$ である。