11自治医科大学 2016年 数学 第11問解答・解説

解答

$x>2$ では右辺 $x-2$ が正なので、もとの不等式は $$ax+b>(x-2)^2$$ と同値である。$g(x)=ax+b-(x-2)^2$ とおくと、$x>2$ における $g(x)>0$ の範囲は $3<x<6$ である。$g$ は最高次の係数が $-1$ の二次式であるから、境界の $3,6$ を根にもつ。 $$g(x)=-(x-3)(x-6)=-x^2+9x-18.$$ 一方、 $$g(x)=-(x-2)^2+ax+b=-x^2+(a+4)x+(b-4)$$ なので、係数を比べて $a+4=9,\ b-4=-18$、よって $a=5,\ b=-14$ である。 このとき $x\leq2$ では $ax+b=5x-14\leq-4<0$ となり、平方根の定義域に入らない。また $x>2$ では $g(x)>0$ がちょうど $3<x<6$ であり、そこでは $ax+b>(x-2)^2\geq0$ だから元の不等式も成り立つ。したがって解の範囲は確かに $3<x<6$ で、 $$|a+b|=|5-14|=9.$$ 選択肢はワである。